Estadistica

libro de la Shawn. Estadistica aplicada






















Ejercicios Resueltos de Estadística:

Tema 4: Probabilidades y Variables Aleatorias

1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

1. ¿cuál es laprobabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?

2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?

3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?




SOLUCIÓN:


Sea ™ i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo ™ i= 1 si la unidad es defectuosay ™ =0 en caso contrario. La variable ™ sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0’05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total
n
de n unidades terminadas ( ™ 1………. ™ n),esto es,⎜ n, p ’ ∑™ i , sigue una distribución
i ’1
binomial de parámetros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema:

1. Procedamos a calcular:



10  2 8
P(⎜10,0'05 ’ 2) ’ 
 2
 * 0'05 * (1−0,05)

’ 0,0476



2. Se tiene que:



10  i10−i
P(⎜10,0'05 ≤ 2) ’ 
 i
 * 0'05 * (1−0,05)

’ 0,9984



3. Por último:




10  0

10−0
P(⎜10,0'005 ≥ 1) ’ 1 − P(⎜10,0'05 ’ 0) ’ 1 − 
 0
 * 0,05 * (1−0,05)

’ 1 − 0,5987 ’ 0,4013

2. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si elrestaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de
que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?




SOLUCIÓN:


Representemos por la variable aleatoria ™ la decisión de asistir ( ™ = 0) o no ( ™ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue una distribución deBernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas ( ™ 1…. ™ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable
n
aleatoria Yn = ∑™ 1 , con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular
i ’1
delproblema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se
tiene que:




20  25 
P(Y ≤ 20) ’ ∑ 
i ’0  i
 * 0,2i * (1 − 0,2) 25−i ’ 0,5799







3. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,

1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?

3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?




SOLUCIÓN:


Sea la variable aleatoria ™ , con distribución dePoisson con parámetro
⎣™ ’ E[™ ] ’ 8,

que
determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.
1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable ⎜ que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de
funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro ⎣⎜
= E [⎜ ]...