estadistica

Matemáticas aplicas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios de probabilidad

Pedro Castro Ortega
Profesor del IES “Fernando de Mena”

Ejercicios resueltos de probabilidad
1. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en
sus pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos
financieros. Obtén razonadamente el porcentaje deempresas sin errores en sus
activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se
espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?
Solución:
Llamemos A = {tener errores en los activos financieros} y B = {tener errores en los
pasivos financieros}. Entonces P(A) = 0’7, P(B) = 0’6 y P(A ∩ B) = 0’4.
El suceso “no tener errores en los activosfinancieros” es A y por tanto P( A ) =
= 1 − P(A) = 1 − 0’7 = 0’3 lo que significa el 30%.
El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es B y por tanto P( B ) =
= 1 − P(B) = 1 − 0’6 = 0’4 lo que significa el 40%.
El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos
financieros y no tener errores en los pasivos financieros”, es decir, A ∩ B . Pero, porlas leyes de Morgan, A ∩ B = A ∪ B . Entonces P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) =
= 1 − P(A ∪ B) = 1 − [P(A) + P(B) − P(A ∩ B)] = 1 − (0’7 + 0’6 − 0’4) = 1 − 0’9 =
= 0’1 lo que significa un 10%.
Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus
activos ni en sus pasivos financieros. Si tenemos una muestra de 500 empresas
10
podemos esperar que 500
= 50 empresas notengan errores ni en sus activos ni
100
en sus pasivos financieros.
2. Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para
los próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno
de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad
de los sucesos A ∪ B, A ∩ C y B ∩ C.
Solución:
Llamemos M al suceso“meter penalti”. Entonces P(M) =

4
1
y por tanto P( M ) = .
5
5

Observemos que el suceso A es equivalente a “meter el primero y no meter el
segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y meter el segundo y no
meter el tercero, o bien no meter el primero y no meter el segundo y meter el
tercero”, que simbólicamente podemos escribir así:
A = (M1 ∩ M 2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M2 ∩ M3) ∪ ( M 1 ∩ M 2 ∩ M3)
Los subíndices indican el número del penalti lanzado. Observemos también que
cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis son incompatibles dos a dos, es
decir, no es posible que ocurra simultáneamente “meter el primer penalti y no los
dos siguientes” y “no meter los dos primeros y meter el tercero”, por ejemplo. Esta
última observación nos lleva necesariamente a:1

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Ejercicios de probabilidad

Pedro Castro Ortega
Profesor del IES “Fernando de Mena”

P(A) = P[(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M2 ∩ M 3) ∪ ( M 1 ∩ M 2 ∩ M3)] =
P(M1 ∩ M 2 ∩ M 3) + P( M 1 ∩ M2 ∩ M 3) + P( M 1 ∩ M 2 ∩ M3) (1), pues sabemos
que si A, B y C son dos sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos (A ∩ B = ∅,
A ∩ C = ∅ y B ∩ C =∅) entonces P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).
Hagamos notar, para terminar esta parte, que el hecho de meter o no un penalti no
influye para nada en lo que ocurra en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o
no meter el primer penalti es independiente de meter o no meter el segundo y de
meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto podemos escribir (1) así:
(1) = P(M1) · P( M 2) ·P( M 3) + P( M 1) · P(M2) · P( M 3) + P( M 1) · P( M 2) · P(M3) =
4 1 1 1 4 1 1 1 4
4
4
4
12
+
+
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
=
, pues también hemos de
5 5 5 5 5 5 5 5 5
125 125 125
125
saber que si A, B y C son sucesos independientes dos a dos, entonces P(A ∩ B ∩ C)
= P(A) · P(B) · P(C).
Con todo lo anterior hemos demostrado que P(A) =

12
125

Calculemos ahora P(B). Por un...