estadistica

CURSO DE E ST A DÍ STI CA I NFE RE NCIA L
E JE RCI CI O S Y PRO BLE MA S RE SUE LT O S DE DI ST RI BUCIÓ N NORMA L
Pr o f .: MSc . Ju li o R. Var gas A .
La Di s t r ib u ci ó n No rmal :
La distribución normal N (μ, σ): es un modelo matemático que rige muchos fenómenos. La
experiencia demuestra que las distribuciones de la mayoría de las muestras tomadas en el campo
de la industria seaproximan a la distribución normal si el tamaño de la muestra es grande. Esta
distribución queda definida por dos parámetros: la media μ y la desviación típica σ. Se presenta
mediante una curva simétrica conocida como campana de Gauss. Esta distribución nos da la
probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una medida contenida en unos intervalos
definidos. Esto permitirá predecir de formaaproximada, el comportamiento futuro de un proceso,
conociendo los datos del presente.

𝒙

𝟏

−∞

𝝈 𝟐𝝅

𝑭 𝒙 =



𝒆

𝒙−𝝁 𝟐
𝟐𝝈 𝟐

𝒅𝒙

La d ist rib u ció n n o rmal f u e re co n o cid a p o r p rime ra ve z p o r e l
f ran cé s Ab rah am d e M o ivre (1 6 67 - 17 5 4 ).



P o st e rio rmen t e , Carl Frie drich Gau ss (1 7 7 7 - 1 85 5 ) re aliz ó
e st ud io s más a fond o do nd e fo rmu la la e cu ació n d e la curva
co n o cid a co mú n me nt e , co mo la “ Camp an a d e G au ss ".

Un a d i st ri b u ci ó n nor mal d e med i a μ y desvi ac i ó n t í pi c a σ se d e sign a p o r
N (μ, σ). Su gráf ica es la c amp an a d e G au ss :

E l ár ea d e l re cin to d et e rmin ad o p or la f un ció n y e l e je d e ab scisas es
i gu al a l a u n id ad .
A lse r si mét ri c a re sp e ct o al e je q u e p asa p o r x = µ , d e ja un ár ea i gu al a
0 . 5 a l a i zq ui er d a y o t r a i gu al a 0 .5 a l a d er ec h a .
La p r ob ab i li d ad eq u i val e al ár ea en cer r ad a b aj o l a cu r va.

Di st ri b uc i ón n or mal est án d ar N(0 , 1 )
La d is t ri b uc i ón n ormal est án d ar , o ti p if i c ad a o r edu c id a, es aq ue lla q ue
tie n e po r med i a e l valo r c er o (μ =0 ), y po r d esvi ac i ón t í pi c a u n o ( σ = 1 ).

z

La p r o b ab il id ad d e l a var i ab l e X d ep en d er á d el ár ea d el ár ea
s o mb r ead o en l a f i gu r a . Y p ara calcu larla u t iliz are mo s un a t ab l a
a d j un t a)

T i pi f i ca ci ó n d e l a va ri a b l e
P a r a p o de r u t iliz ar la t ab la t en e mo s qu e tran sf o rmar la variab le X q u e
sigu e

una

d istribu ció n

N (μ, σ)

en

o t ra

variab le

Z

qu e

siga

un a

d ist r ib u ció n N(0 , 1 ) .

Cál c u l o d e pr o b abi lid ad es en di st ri bu c io n es n or mal es
La t ab l a no s d a las p r o b abi li d ad es d e P(z ≤ k) , sie nd o z la variab le
t ip if ica d a.
E st as pro b ab ilid ad es n o s d an la f un ci ó n d e di st ri bu c i ón Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)

Bú sq u ed a en l a t a bla d e val o r d e k
Un i d ad es y d éc i mas en la co lu mn a d e la izq u ie rd a y
f ila d e sup e rio r .
P(Z ≤ a ) = 1- P(Z > a )

Cent ési mas e n la

P(Z > a ) = 1 - P(Z ≤ a )

P(Z ≤ − a ) = 1 − P(Z ≤ a )

P(Z > − a ) = 1- P(Z ≤ -a )

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b ) − P(Z ≤ a )

P(− b < Z ≤ −a )= P(a < Z ≤ b )
N o s en co n tramo s co n e l caso in ve rso a lo s an t erio re s, co n o ce mo s e l
va lo r de la p ro b ab ilid ad y se t rat a d e hallar e l valo r d e la ab scisa. Ah o r a
t e n em o s q u e bu scar e n la t ab la e l val or q u e más se ap r o xi me a K .

P(− a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b ) − * 1 − P(Z ≤ a )+

p = K
P a r a calcu lar la variab le X n o s vamo s a la f órmu l a d e l a ti p if i c ac i ón .

Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
1 . S i X e s u n a variab le ale at o ria d e u n a d ist ribu ció n N (µ, σ), hallar: p (µ− 3 σ
≤ X ≤ µ+ 3 σ).
So l u c ió n : sab emo s q u e

=

P (x 1 ≤ X ≤ x 2 ) se d ef in e co mo:

−

; c o mo x 1 = µ−3 σ

y x 2 = µ+3 σ en to n ce s la

= P(z≤3) -1 + P(z≤3)=
= 0.9986 -1 +...