Estadistica

Competencia: Lleva a cabo el procedimiento de la prueba de hipótesis con dos o más muestras
ANALISIS DE VARIANZA

INTRODUCCIÓN

Ya se han estudiado pruebas de hipótesis con dos muestras, ahora generalizaremos las ideas de pruebas de hipótesis a casos donde hay más de dos muestras o más de dos promedios por comparar; por ejemplo : un ingeniero químico quiere comparar los rendimientospromedios de cuatro procesos cuyo objeto es producir una sustancia para uso industrial.

Ahora estudiaremos un método para probar la igualdad de dos o más promedios, este se llama: Análisis de Varianza.


Análisis de Varianza para un diseño Completamente Aleatorizado.

Definición. Un diseño completamente aleatorizado es un plan para reunir datos en el que se selecciona una muestra de cadapoblación de interés y las muestras son independientes.

Ejemplo.
Supongamos que se han de comparar las resistencias a la tensión de piezas de acero que provienen de tres procesos, cada uno tiene cierto porcentaje de carbono. Si se toman muestras aleatorias de mediciones de resistencia a la tensión en piezas de cada proceso y las muestras son independientes, entonces el diseño resultante es un diseñocompletamente aleatorizado.

Las poblaciones de interés en los problemas de diseño experimental, se llaman Tratamientos. En el ejemplo anterior hay tres tratamientos, uno por cada % de carbono en el acero (cada proceso).

Los datos para un análisis de varianza para un diseño completamente aleatorizado se ordena generalmente, así:


Tratamientos

1
2
3
…
k

Y11
Y21
Y31

Yk1Y12
Y22
Y32

Yk2

.



.

.



.

Y1n
Y2n
Y3n
…
Ykn
Total






Prueba para comparar K promedios, para un diseño completamente aleatorizado
Hipótesis que deben considerarse:
1) Cada población (tratamiento) tiene distribución normal
2) Las K varianzas poblacionales son iguales.
La s hipótesis para este tipode diseño se pueden plantear así:

H0: 1  2  ........  K
H1: por lo menos dos promedios son diferentes

El análisis se puede resumir en la siguiente tabla:

TABLA ANDEVA (Resumen del análisis de varianza)

Fuente
GL
SC
PC
F
Tratamiento
k-1
SCT
PCT
PCT/PCE
Error
n-k
SCE
PCE

Total
n-1
SCTot



Notación que se utiliza en el Análisis de Varianza Parael diseño completamente aleatorizado
GL: grados de libertad
SC: Suma de cuadrados
SCT: suma de cuadrados de tratamiento
SCE: suma de cuadrados de errores
SCTot. : Suma total de cuadrados
PC: Promedio de cuadrados
PCT : promedio cuadrado de tratamiento
PCE: promedio cuadrado del error
PCT: SCT / K-1
PCE: SEC / n – K

FÓRMULAS DE CALCULOTi : Total de muestra i
ni : tamaño de muestra i
n : tamaño total de la muestra
SCE = SCTot. – SCT n: n1 + n2 +…. + nK
K: tratamientos

Medida estadística de prueba: F  PCT / PCE

Región de rechazo: Si F > F( 1 - ) ( k-1, n-k), se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo.Se seleccionaron muestras aleatorias independientes de tres poblaciones normalmente distribuidas con varianza común 2 desconocida. Los datos son los siguientes:

Muestra 1
Muestra 2
Muestra3

3.1
5.4
1.1

4.3
3.6
0.2

1.2
4
3


2.9

Total
8.6
15.9
4.3

Hacer un análisis de varianza y llenar los lugares correspondientes a la TABLA ANDEVA
a) Probar la hipótesis de que lospromedios de población son iguales comparándolos con la alternativa de que por lo menos un promedio es diferente.
Solución
SCTot  23.376
SCT  11.075167
SCE  12.3008
a) La tabla es la siguiente:

Fuente
GL
SC
PC
F
Tratamiento
2
11.075
5.537
3.151
Error
7
12.3
1.757

Total
9
23.376



b) F(0.95) (2 , 7)  4.74
Si F > F(0.95) (2 , 7) se rechaza Ho...