estadistica

5.1. Prueba Z para diferencia entre dos proporciones

En algunos diseños de investigación, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muestrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar o probar una diferencia entre las mismas.
Las siguientes son algunas situaciones posibles.
Existen variedad de problemas en los que se debedecidir si la diferencia observada entre dos proporciones muestrales se pueden atribuir a la casualidad o si es indicativo del hecho de que las dos proporciones de la población correspondientes son desiguales. Por ejemplo, se quisiera decidir, tomando en cuenta los datos de una muestra, si una publicidad determinada produciría en realidad una diferencia de respuesta con respecto a otra, ese es unade las muchas interrogantes con que se enfrenta un administrador hoy en día.
Otros ejemplos de problemas serían:
* Comparar el porcentaje de piezas defectuosas entre embarques de dos proveedores diferentes.
* Determinar si la proporción de pacientes con dolor de cabeza que sienten alivio con un nuevo medicamento es significativamente mayor que quienes emplean aspirina.”

Problemas como elantes mencionado se pueden tratar como un problema de contraste de hipótesis del tipo:


En donde son las dos proporciones de poblaciones de la característica analizada. Si se señala con el tamaño de las muestras y como las proporciones obtenidas de las muestras, entonces la variable que se debe emplear para resolver este tipo de problemas es la diferencia de proporciones muestrales.Es decir, , este planteamiento al igual que en el caso de la media, se reduce a conocer si la diferencia de las proporciones de la muestra es lo suficientemente grande como para suponer que en realidad existe una diferencia entre . El método que se aplicara para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de las muestras se puede atribuir a la casualidad o si esestadísticamente significativa, se basa en la siguiente teoría: Si son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un tipo y n2 de otro, donde todos los ensayos son independientes, y las probabilidades correspondientes de alcanzar un acierto son ,entonces la distribución de muestreo de tiene una media .
Afortunadamente, basándonos en el teorema del limite central que expresa que poseeuna distribución normal o aproximadamente normal con un promedio igual a la diferencia de proporción de población, es decir y con una desviación estándar, llamada error estándar de la diferencia entre dos proporciones, igual a se debe expresar que cuando no se conozca , que es lo que por lo general ocurre, se deben estimar sus valores por medio de los valores de las muestras; aunque losvalores poblacionales sean desconocidos, se supondrán iguales bajo la hipótesis nula planteada, es decir por consiguiente si el valor común se indica por p, el error estándar será donde p suele estimarse mediante la combinación de los datos; o sea, al sustituir p por las proporciones de la muestra combinada de .

El estadístico para calcular la diferencia entre proporciones es:EJEMPLO. En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15 estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis alternativa p1 ≠ p2 con un nivel designificancia de 0.05.

Datos:



SOLUCIÓN: Para resolver este problema se plantearán las hipótesis y luego se aplica la formula.

Hipótesis:



Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si ,es decir, .

Aplicando formula se tiene:


Conclusión: Como es menor que , es decir, , se acepta con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en...