estadistica

Departamento de Matem´tica Aplicada a la I.T.T.
a
´
ASIGNATURA: ESTAD´
ISTICA Y PROCESOS ESTOCASTICOS
SEGUNDA PRUEBA (Oto˜ o 2013)
n
Duraci´n: 2 horas
o
FECHA: 9 de Enero de 2014
Fechapublicaci´n notas: 16-01-2014
o
Fecha revisi´n examen: 20-01-2014
o
APELLIDOS Y NOMBRE:
´
DNI:
TITULACION:
Ejercicio 1 (2 puntos) Sea (X, Y ) una variable aleatoria con funci´n de densidadconjunta
o
1 x
 e− y e−y
f (x, y) = y

0

si x > 0, y > 0
en el resto

Calcula
a) fY (y)
Soluci´n.
o
∞

fY (y) =

∞

f (x, y) dx =
0

0

1 − x −y
−x
e y e dx = e−y −e y
y

∞0

= e−y , y > 0

es decir, Y ∼ Exp(1)
b) P (2Y > X)
Soluci´n.
o
∞

2y

P (2Y > X) =
0

0
∞

=

1 − x −y
e y e dx
y

∞

dy =

e−y

0

−e

− x 2y
y
0

dy

e−y(−e−2 + 1) dy = 1 − e−2

0

Ejercicio 2 (2 puntos) Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes tales que
P (X1 = 0) = P (X2 = 0) = p y P (X1 = 1) = P (X2 = 1) = 1 − p.
Sea Y = 2X1 − X2a) Calcula E(Y ) y VAR(Y )
Soluci´n.
o
E(Y ) = E(2X1 − X2 ) = 2E(X1 ) − E(X2 )
E(X1 ) = E(X2 ) = 0 · p + 1 − p = 1 − p
E(Y ) = 1 − p
V ar(Y ) = 4V ar(X1 ) + V ar(X2 ) − 4 COV(X1 , X2 ) = 5Var(X1 )
donde COV(X1 , X2 ) = 0, pues X1 y X2 son variables aleatorias independientes.
2
V ar(X1 ) = V ar(X2 ) = E(X1 ) − [E(X1 )]2 = 02 · p + 12 · (1 − p) − (1 − p)2 = p(1 − p)

V ar(Y ) = 5p(1 −p)

b) Calcula la funci´n de probabilidad de Y
o
Soluci´n. Cuando X1 = 0 y X2 = 0, Y toma el valor 2 · 0 − 0 = 0
o
Cuando X1 = 0 y X2 = 1, Y toma el valor 2 · 0 − 1 = −1
Cuando X1 = 1 y X2 = 0,Y toma el valor 2 · 1 − 0 = 2
Cuando X1 = 1 y X2 = 1, Y toma el valor 2 · 1 − 1 = 1
P (Y = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = p2
P (Y = −1) = P (X1 = 0, X2 = 1) = P (X1 = 0)P (X2 =1) = p(1 − p)
P (Y = 2) = P (X1 = 1, X2 = 0) = P (X1 = 1)P (X2 = 0) = p(1 − p)
P (Y = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1) = P (X1 = 1)P (X2 = 1) = (1 − p)2
donde P (X1 = i, X2 = j) = P (X1 = i)P (X2 = j),...