Estadistica

Inferencia estadística – Tests de hipótesis

Hasta ahora hemos visto como obtener, a partir de una muestra, un estimador puntual o un intervalo de confianza para un parámetro θ. Frecuentemente el objetivo del estudio es decidir, en base a la información que provee la muestra, entre dos hipótesis relativas a un parámetro. Ejemplo: Supongamos que el consumo promedio de nafta de los motoresutilizados por una empresa automotriz en uno de sus modelos es de 10 litros cada 100 km. Se presenta un proyecto de mejora del motor que produciría una disminución en el consumo pero, por razones de costo, se considera viable el proyecto si la reducción lleva el consumo a un valor menor de 9 litros cada 100 km. Para estudiar la conveniencia o no de aplicar la mejora a los motores, se aplica esta mejoraa una muestra de 25 motores, los cuáles se ponen a funcionar en igualdad de condiciones durante un periodo fijo. El consumo promedio observado es de 8.9 litros cada 100 km. ¿Proveen estos datos evidencia de que vale la pena incorporar la mejora al motor o se deben simplemente al azar? Supongamos que el consumo de nafta de los motores es una v.a. con distribución normal con varianza igual a 1 y quela muestra es aleatoria, es decir que los 25 consumos son independientes. Es decir, supongamos que X 1 ,..., X 25 es una m.a., X i ~ N ( µ ,1) . Entonces

1   X ~ N µ ,   25 

⇔

X −µ 1 / 25

~ N (0, 1)

Si la media verdadera del consumo en el motor mejorado fuese de 9 litros cada 100 km., ¿cuál es la probabilidad de que una v.a. normal con media 9 y varianza 1/25 tome un valorigual o más alejado que el observado, 8.9?

 X − 9 8.9 − 9  P (X ≤ 8.9 ) = P  1 / 5 ≤ 1 / 5  = Φ (−0.5) = 0.309 ≅ 0.31   
Esta probabilidad se denomina p-valor. Si el consumo promedio observado hubiese sido X = 8.6 litros cada 100 km, entonces

 X − 9 8.6 − 9  P (X ≤ 8.6 ) = P  1 / 5 ≤ 1 / 5  = Φ (−2) = 0.023   
es decir que, en este último caso, hubiese sido muy poco probableque se observase un valor promedio de 8.6 cuando la media verdadera es 9. ¿Qué es lo que estamos tratando de decidir? Nuestras hipótesis se refieren a µ, y se podrían enunciar así:

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i) ii)

µ = 9 litros cada 100 km. En este caso no se implementa la mejora a los motores µ < 9 litros cada 100 km. En este caso conviene implementar la mejora a los motores

A la primera hipótesis se ladenomina hipótesis nula y se designa Ho. Esta hipótesis implica que no hay efecto, es la hipótesis del status quo, o sea del no cambio respecto a la situación inicial. La segunda hipótesis se denomina hipótesis alternativa y se designa H1 . Se la suele llamar la hipótesis del investigador. Expresadas en términos del parámetro de interés las hipótesis del ejemplo serán Ho: µ = 9 vs H1: µ < 9

Untest es una regla de decisión basada en un estadístico o función de la muestra, en este caso X , y en una zona de rechazo, es decir un conjunto de valores para los cuáles se rechaza la hipótesis nula Ho. ¿Cómo se elige la zona de rechazo? Observemos que al tomar una decisión en base a una muestra, podemos cometer dos tipos de error. Ho es cierta Ho no es cierta No se rechaza Ho OK Error tipo II Serechaza Ho Error tipo I OK

Debido a la variabilidad muestral, es imposible construir tests en los cuáles estemos absolutamente seguros de tomar la decisión correcta,. Lo que podemos hacer es tratar de mantener bajas las probabilidades de error. Llamaremos nivel de significación del test, y lo designaremos α, a la probabilidad de error tipo I (en realidad a la máxima probabilidad de error tipo I)y designaremos β a la probabilidad de error tipo II. Como el estadístico se construye bajo la condición de que Ho es verdadera, lo que podemos controlar es la probabilidad de error tipo I. Elegiremos la zona de rechazo del test de manera que la probabilidad de error tipo I sea un valor α predeterminado. Volviendo al ejemplo, sabemos que, si Ho es cierta,

X −9 ~ N (0 , 1) 1/ 5
Si queremos...