estadistica

Asignatura
Profesores

: Estadística II
: Mario Cartes
: Víctor González Ruiz

GUIA N°1 VARIABLES ALEATORIAS
1. Si se Compran y Venden artículos de acuerdo al juego libre de mercado, se deben esperar
fluctuaciones tanto en la cantidad que se debe pagar por un artículo, como en la cantidad en que
se podrá vender. Se supone que un comerciante paga una cantidad X (en U.M.) por un artículoque luego vende en una cantidad Y (en U.M.). La distribución de densidad conjunta es la siguiente:

K x2 y 2
f ( x, y)
0
a. Calcular las siguientes probabilidades:
P( x 0,5 ; y 0,5)
i.
P x 0,5
ii.
y 0,5
iii.

P x

para

0

x

y 1
T .O.C.

0,5
y

0,5

P( x 2 y )
iv.
b. Suponiendo que no se tengan costos fijos que cargar en el precio de venta de este artículo,
¿cuáles la esperanza y desviación estándar de la utilidad por artículo?

2. Dada la función de densidad conjunta:

f ( x, y)

24 x2 y(1 - x) para
0

0 x
TOC

1; 0

Determine:
a) Determine si f ( x, y ) es una función de densidad conjunta.
b) Determine las funciones marginales.
c) Determine la Probabilidad de que x 0, 75 y 0,5
f ( x / y)
d) Las
funciones
condicionales
y
P x 0, 25P 0, 2 y 0,3
y 0,5
x 0,8
2
e)
i) E ( x)
iii) E ( y )
ii) E ( x )
v) E ( xy)

vi)

vii)

2
x

2
y

y

1

f ( y / x) ,

y

determine

iv) E ( y 2 )
viii) Cov( x, y )

f) Demostrar si las variables x e y son estadísticamente independientes.
3. Sea ( X , Y ) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad conjunta dada por:

f ( x, y)

k

1 y
0x 1
TOC

a. Determine el valor de K.
b. Determine las funciones marginales.
c. Calcular la función de distribución de la variable aleatoria X .
1
1
d. Calcular la probabilidad de que X
si se sabe que Y
2
4
2
e. Calcular la E (3 X Y )

Confidencial

Página 1

12/08/2011

Asignatura
Profesores

: Estadística II
: Mario Cartes
: Víctor González Ruiz

4. Sean X e Yvariable aleatorias tales que:

f ( x, y)
a)
b)
c)
d)

k (6 x
0

y) si 0 x
T .O.C.

2; 2

y

4

Determine el valor de k para que f ( x, y ) sea una función de probabilidad conjunta.
Cuál es la probabilidad de que P( x 1/ y 3) y P(0 x 1/ y 3)
Calcule e interprete Cov( x, y ) y ( x, y )
¿Las variables aleatorias son independientes?

Respuestas

a) 1/8
c) Cov( x, y)

1/ 36b) P( x 1/ y 3) 5 / 8
( x, y)
1/11

P(0 x 1/ y
d) No

5. Sean X , Y , Z variables aleatorias tales que:
E( x) 5 ; E( y) 4 ; E( z) 2 ; V ( x) 4 ; V ( y) 1 ; V ( z)

( x, y)

0,2 ;

( x, z)

0,4 ;

Sean las variables aleatorias: W

( y, z )
2x

y

3) 3 / 5

9

0,5
3z

5

T

x

2y

3z

2

Determine E ( W ) y E ( T ) . Resp: 17 y 5.
b) Determine quevariable, W o T , tiene menor varianza. Resp: V(T) < V(W)
a)

6. Una compañía opera instalaciones para atención en el automóvil y para atender a quien llega
caminando. En un día seleccionado al azar, sean X e Y , respectivamente, las proporciones del
tiempo que se utiliza cada instalación, y suponga que la función de densidad conjunta de estas
variables aleatorias es:

f ( x, y)
a)
b)
c)
d)e)
f)

k ( x 2 y) para
0

0 x 1; 0
TOC

y 1

Determine:
El valor de la constante K , que hace a f ( x , y ) una función de densidad.
Si se sabe que se utilizan exactamente el 35% del tiempo, las instalaciones para atención en
el automóvil; ¿Cuál es la probabilidad de que se utilicen a lo más el 55% del tiempo, las
instalaciones para quienes llegan caminando?
¿Cuál es laprobabilidad de que las instalaciones para atención en el automóvil, estén
ocupadas menos de la mitad del tiempo?
Determine el valor esperado de las proporciones de tiempo en que se utiliza cada instalación.
¿Son X e Y , variables independientes?. Justifique su respuesta.
W 2 x y , determine si la V ( W 1 ) es mayor, menor o igual a la
Sean W 1 x y
V (W 2 ) .

Respuestas

b) 0,3667 c) 0,125
a) K...