Estadistica

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Medidas de Dispersión

∑X
i =1

k

i i

f

Dispersión
• La dispersión muestra la disparidad que existe entre los valores de la variable. Si es elevada, las medidas de posición pueden resultar poco representativas, al ser una muestra poco homogénea para esa variable. Si la dispersión es baja, la representatividad de las medidas de posición mejora, siendo elgrupo más homogéneo.

Medidas de dispersión
• Las medidas de tendencia central son valores en una distribución y las medidas de la variabilidad son intervalos, designan distancias o un número de unidades en la escala de medición. • Sólo pueden obtenerse con variables de escala de intervalo o de razón en las que puede valorarse el grado de representatividad de medidas de posición como la media.Medidas de dispersión
ABSOLUTAS
Recorrido Desviación media Varianza Desviación estándar

Pueden ser

RELATIVAS
Coeficiente de apertura Recorrido relativo Coeficiente de variación

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS
• Recorrido • Desviación media • Varianza • Desviación estándar

Recorrido
• Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable:

R = x Max − x minRecorrido
VENTAJAS • Cálculo sencillo DESVENTAJAS • Sólo tiene en cuenta dos valores de la serie. • Le afecta la existencia de valores extremos. • No se refiere a ninguna medida de posición central por lo que no sirve para valorar representatividad de alguna de ellas.

Desviación media
De una población:

DM =

∑

n

i =1

Xi − µ n

DESVIACION MEDIA n
De una muestra:

DM =

∑

i=1

Xi − X n
8

Desviación media
• Si no se tomaran los valores absolutos de las diferencias entre los valores de la variable y la media el resultado sería igual a 0. • La DM puede calcularse respecto a la mediana y a la moda, en el caso de que la media no sea representativa de los valores que toma la variable.

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA
Caso de una Distribución de Frecuencia deDatos No Agrupados: Ejemplo: Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de empezar a caminar:

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA

µ = 12,2 meses n = 50
Meses (x) 9 10 11 12 13 14 15 Niños (f) 1 4 9 16 11 8 1 lxi-µl 3,2 2,2 1,2 0,2 0,8 1,8 2,8 lxi-µl fi 3,2 8,8 10,8 3,2 8,8 14,4 2,8

DM =

∑
i =1

n

Xi − µ n

DM =

52 =1,04meses 50

50

52

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA
Caso de una Distribución de Frecuencia de Datos Agrupados: Ejemplo: Las alturas de los jugadores de un equipo de basquet vienen dadas por la tabla:

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA
µ = 186,63 cm n = 23
Altura (cms) [170, 175) [175, 180) [180, 185) [185, 190) [190, 195) [195, 200) Nº de jugado res 1 3 4 8 5 2 23

MC 172,5 177,5 182,5187,5 192,5 197,5

lMCi-µl 14,13 9,13 4,13 0,87 5,87 10,87

lMCi-µl fi 14,13 27,39 16,52 6,96 29,35 21,74 116,09

DM =

∑

n

i =1

Xi − µ n

116,09 DM = = 5.05cm 23

Varianza
Es una medida de dispersión que cuantifica la variabilidad de los datos con respecto a la media aritmética y se denota por V(X). Se define como la media aritmética de las desviaciones al cuadrado de cadauno de los datos con respecto a la media.

Para una población:

σ 2 (x) =

∑ (x
i =1

n

i

− µ)

2

n

=
2

∑ ∑
n

n

i =1

x i2 − n µ n x i2 − n x n

2

Para una muestra:

s 2 (x) =

∑

n

i =1

(xi − x) n

2

=

i =1

Cuando se refiere a la población se representa por σ2 y si se refiere a la muestra se representa como s2

CALCULO DE LAVARIANZA

Meses (x) 9 10 11 12 13 14 15

Niños (f) 1 4 9 16 11 8 1 50

(xi-µ)2 10,24 4,84 1,44 0,04 0,64 3,24 7,84

(xi-µ)2 fi 10,24 19,36 12,96 0,64 7,04 25,92 7,84 84

µ = 12,2 meses n = 50

σ 2 ( x) =

∑ (x
i =1

n

i

− µ)2 =

n

84 = 1,68meses 2 50

CALCULO DE LA VARIANZA

Meses (x) 9 10 11 12 13 14 15

Niños (f) 1 4 9 16 11 8 1 50

x i2 81 100 121 144 169 196...