estadistica

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO VECTORIAL

FUNCIONES VECTORIALES

Conceptos fundamentales

Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una
regla que asocia a cada punto " "r de una cierta región
n S ⊂ \ un vector ( ) m F r ∈\ y se denota como
: n m F S∈\ \ →
Al conjunto " " S de valores que toma la variable
independiente, se ledenomina dominio y al conjunto de
valores que toma F r( ) se le llama imagen o recorrido. Las
funciones vectoriales se conocen también como campos
vectoriales y aquí se clasificarán en:
- Campos vectoriales de variable escalar
- Campos vectoriales de variable vectorial

Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una
función vectorial con dominio en los reales, es decir,cuando
n=1. En dos y tres dimensiones se acostumbra representar
como:
() () () 2 F Ft xt i yt j :
∧ ∧
\ \ →⇒ =+
() () () () 3 F Ft xt i yt j ztk :
∧ ∧ ∧
\ \ →⇒ =++
Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar:
( ) 3 i F t ti t j )
∧ ∧
= +
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2
ii F a sen i a j ) 1 cos () ( ) ( ) θ θθ θ
∧ ∧
= + +−
() ( ) ( ) ( ) 000 iii F t x at i y bt jz ct k )
∧ ∧ ∧
=+ ++ ++
iv F v a v i bv j asenv k ) cos ( )
∧ ∧ ∧
= ++
Sus gráficas son las siguientes:


















Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión
mayor de uno, o sea, n>1 se tiene el caso de funciones
vectoriales de variable vectorial.

Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial:
( )( ) ( ) ( )01 2 01 2 01 2 i F t s x as a t i y bs b t j z cs c t k ) , ∧ ∧ ∧
= ++ + ++ + ++
( ) 2 ii F u v u v i usenv j u k ) , cos
∧ ∧∧
= ++
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3
iii F u v senu v i senusenv j u k ) , cos cos ( )
∧ ∧ ∧
= ++

Sus gráficas son las siguientes:




















Límites y continuidad de funciones vectoriales

Definición. Ellímite de una función vectorial, cuando la variable
n r ∈\ tiende al punto 0
n r ∈\ , denotado como

( ) 0
lim
r r
Fr I
→
=

existe sí y sólo si para ε > > 0 0 y δ se cumple que:
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Fr I ( ) − < ε siempre que 0 < r r − < 0 δ

Teorema. Sea : n m F \ \ → definida por
Fr y r y r y r ( ) 1 2 ( ), ,, ( ) m ( ) = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ "
Entonces:
( ) ( ) ( )( ) 0 00 0
1 2 lim lim ,lim , ,lim m
rr rr rr rr
Fr y r y r y r
→ →→ →
⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ "

Teorema. Propiedades. Sean
: : nm nm F yG \\ \\ → →
tales que ( ) ( ) 0 0
lim lim
rr rr
Fr A y Gr B
→ →
= = , entonces se
cumple que:
i) Si A existe, es único.
( ) ( ) 0
) lim ;
r r
ii kF r G r kA B k
→
⎡ ⎤ + =+ ∈ ⎣ ⎦ \
( ) ( ) 0
) lim
r r
iii F r G r A B
→
⎡ ⎤ ⋅ =⋅ ⎣ ⎦
iv)Para ( ) ( ) 0
3 ; lim
r r
m Fr Gr A B
→
= × =× ⎡ ⎤ ⎣ ⎦
( ) 0
) lim
r r
v Fr A
→
=

Ejemplo. Calcular
1 2
1
1
2 1 lim
1
t
t
sen t t i je k t t
π
∧ ∧ ∧ − −
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟ − − + −
⎝ ⎠



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Ejemplo. Calcular ( ) 0
lim
r r
F r
→
si
( ) ()
( )
2 2
2 3
0
2 , tan ln
1,1
x x xy y F x yxang xy i j k
y xy y
r
∧ ∧ ∧ ⎛ ⎞ − +
= ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −
=















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Continuidad

Definición. Sea : n m F \ \ → una función vectorial. Se dice que
F es continua en 0
n r ∈\ sí y sólo si se cumple que

( ) ( ) 0
lim 0
r r
Fr Fr
→
=
Definición. Se dice que F r( ) es continua en r r = 0 si secumple
que
( ) ( ) 0
lim 0 0
r r
Fr Fr
→
− = o bien
0
lim 0
r
F
Δ →
Δ =

Derivadas

Definición.
i) Sea : m F \ \ → una función vectorial de variable escalar
" "t . Entonces se define a la derivada de F en 0t como:
( ) ( 0 0 ) ( )
0
lim
t
dF t F t t F t
dt t Δ →
+Δ − = Δ
(siempre que el límite exista)

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ii) Sea : n m F \ \...