estadistica

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA TEORIA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD

Docente: José González Porto

SUCESOS ALEATORIOS

Experimento aleatorio : es aquel que se caracteriza porque al repetirlo bajo análogas condiciones jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener . En caso contrario se llama experimento determinista .

Espacio muestral E : ( de un experimento aleatorio ) es elconjunto de todos los resultados posibles del experimento .

Suceso de un experimento aleatorio : es un subconjunto del espacio muestral . Puede haber los siguientes tipos :
suceso elemental
suceso compuesto ( de varios sucesos elementales )
suceso seguro
suceso imposible
suceso contrario

Operaciones con sucesos :
Unión de sucesos : la unión de dos sucesos A y B es el suceso que serealiza cuando se realiza A ó B
Intersección de sucesos : la intersección de A y B es el suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B . Cuando es imposible que los sucesos se realicen simultáneamente se dice que son incompatibles . Si . En caso contrario se dice que son compatibles .

Propiedades :

Unión
Intersección
Asociativa
(AB) C=A(BC)
(AB) C=A(BC)Conmutativa
AB=BA
AB=BA
Idempotente
AA=A
AA=A
Simplificativa
A(BA)=A
A (BA)=A
Distributiva
A(BC)=(AB) (AC)
A(BC)=(AB) (AC)
Suceso contrario
A= E
A

Sistema completo de sucesos: Se dice que un conjunto de suceesos A1 , A2 .......constituyen un sistema completo cuando se verifica :
A1A2........=E
A1 , A2 , ......son incompatibles 2 a 2 .
A1A2 ............. An

PROBABILIDAD

Ley de los grandes números: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número , a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente . Este número lo llamaremos probabilidad de un suceso.

Definición Clásica de probabilidad: (regla de Laplace). Supóngase un suceso E de un total de n casosposibles, todos igualmente factibles, puede presentarse en h de los casos. Entonces, la probabilidad de aparición del suceso (llamada ocurrencia) viene dada por:


( para aplicar esta definición se supone que los sucesos elementales son equiprobables). Suele escribirse la probabilidad de la aparición de un suceso E, como:


La probabilidad de no aparición del suceso viene dada por:q = 1 - p

La probabilidad empírica de un suceso, se toma como la frecuencia relativa de la aparición del suceso, cuando el número de observaciones es muy grande. La probabilidad por sí misma es el límite de la frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.

La teoría de la frecuencia relativa de la probabilidad también suele ser definida como: teoría objetiva oempírica de la probabilidad.


Si en 1.000 lanzamientos de una moneda resultan 529 caras, la frecuencia relativa (o probabilidad) de cara es igual a:

529/1000 = 0.529.

Y la frecuencia relativa de no cara o sello, es: 431 / 1000, o:
p(s) = q = 1 – 0.529.
q = 0.471

Probabilidad Marginal. Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso en particular sin relacionarlocon la ocurrencia de otro.

Ejemplo: La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga la cara cuatro. P(4) = 1/6.

Ejemplo: La probabilidad de que al lanzar una moneda se obtenga como resultado: sello.

P(s) = 1/2

Definición axiomática de probabilidad: ( Kolmogorov ) Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A un número real que cumple los siguientes axiomas :
1. Laprobabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos siempre es positiva , es decir p(A) 0
2. La probabilidad del suceso seguro es 1 , es decir , p(E) = 1
3. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de probabilidades de cada uno de ellos , o sea , p(AB) = p(A) + p(B)

Consecuencias de los axiomas :
p() = 1 - P(A)
p() = 0

Si A
Si los suceso son...