Estadistica

Proporción: la fracción, porción relativa o porcentaje que expresa la parte de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés.

Hipótesis: Es una aseveración o conjetura con respecto a una o mas poblaciones

Es importante recordar que las hipótesis son siempre enunciados relativos a la población o distribución bajo estudio, no enunciados en torno a la muestra

Pruebasrelacionadas con proporciones

Las pruebas de hipótesis relacionadas con proporciones

Tienen aplicaciones en muchas áreas
* El político está interesado en saber que fracción de los votantes le favorecerá en las próximas elecciones.

* Todas las empresas manufactureras desean conocer la proporción de artículos defectuosos cuando se realiza un embarque.

La variable aleatoriaapropiada sobre la cual se fundamenta el criterio de decisión es la variable aleatoria binomial X, los valores de X que se encuentran alejados de la media conducirán al rechazo de la hipótesis nula.

Debido a que X es una variable binomial discreta, es poco probable que pueda determinarse una región critica cuyo tamaño sea exactamente igual que un valor predeterminado de (alfa). por esta razón espreferible, al tratar con muestras pequeñas, basar las decisiones en los valores P. para probar la hipótesis:

H0 : p = p0
H1 : p < p0

Se utiliza la distribución binomial para calcular el valor P:

P = P (X<= x cuando p=p0)

El valor x es el numero de éxitos en la muestra de tamaño n. si este valor P es <= que (alfa), la prueba es significativa en el nivel (alfa) y serechaza H0 en favor de H1.
De igual manera para la hipótesis:

H0 : p = p0
H1 : p > p0


En el nivel de significancia (alfa) se calcula.

P = P (X >= x cuando p = p0)

Y se rechaza H0 a favor de H1, si este valor P es <= (alfa)
Y por ultimo, para probar la hipótesis

H0 : p = p0
H1 : p <> p0

En el nivel de significancia (alfa) se calcula.

P = 2P (X<= x cuando p = p0)
Si x < np0 o
P = 2P (X >= x cuando p = p0)
Si x > np0

Y se rechaza H0 a favor de H1, si el valor calculado de P es menor que o igual que (alfa).

Los pasos para probar la H0 acerca de una proporción en contra de varias alternativas, utilizando las probabilidades binomiales de la Tabla A1, son los siguientes:

1) H0 : p = p0
2) H0: lasalternativas son : p < p0 p > p0 p <> p0
3) Escoger el nivel de significancia igual que (alfa)
4) Estadístico de prueba: la variable p = p0 binomial X con
5) Cálculos: encontrar x, la cantidad de éxitos, y calcular el valor aproximado de P
6) Decisión; tomar las decisiones apropiadas con base en el valor P


Ejemplo:
Un constructor afirma que seinstalan bombas de calefacción en el 70% de todos los hogares actualmente en construcción en la ciudad de Richmond. ¿estaría usted de acuerdo con esta afirmación si una investigación aleatoria de nuevas casas en esta ciudad indica que 8 de cada 15 tiene instaladas bombas de calefacción? Utilice un nivel de significancia de 0.10.



Solución:


1. H0: p = 0.7
2. H1: p<> 0.7
3. (alfa) = 0.10
4. Estadístico de prueba: la variable binomial X con p = 0.7 y n=15
5. Cálculos:
x = 8 y np0 = (15) (0.7) = 10.5
Por lo tanto de la tabla A.1 el valor de P calculado es:


P = 2P (X <= x cuando p = p0)

P = 2P (X <= 8 cuando p = 0.7)

= 2 ∑8 b(x; 15, 0.7)x=0

= O.2622 > 0.10


6) Decisión: No se rechaza H0 y se concluye que no hay razón suficiente para dudar de la afirmación del constructor.


Se vio que cuando n es muy pequeña, es posible obtener las P =P0 probabilidades binomiales a partir de la formula binomial real o de la tabla A1. Para vaslores grandes de n se...