Estadistica

Mediana (estadística)
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Para otros usos de este término, véase mediana.
En el ámbito de la estadística, una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
Contenido[ocultar] * 1 Cálculo * 1.1 Datos sin agrupar * 1.2 Datos agrupados * 2 Ejemplos para datos sin agrupar * 2.1 Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos * 2.2 Ejemplo2 : Cantidad (N) par de datos * 3 Ejemplo para datos agrupados * 4 Método de cálculo general * 5 Método proyectivo * 6 Véase también |
[editar] Cálculo
Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.
[editar] Datos sin agrupar
Sean losdatos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: .
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9 => El valorcentral es el tercero: . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir: .
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenadosson: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: .
[editar] Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con laabscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Dónde Ni y Ni − 1 son las frecuencias absolutas acomuladas tales que , ai − 1 y ai son los extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y Me = ai − 1 es laabscisa a calcular, la moda. Se observa que ai − ai − 1 es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
[editar] Ejemplos para datos sin agrupar
[editar] Ejemplo 1: Cantidad (N) impar de datos
xi | fi | Ni |
1 | 2 | 2 |
2 | 2 | 4 |
3 | 4 | 8 |
4 | 5 | 13 |
5 | 8 | 21 > 19.5 |
6 | 9 | 30 |
7 | 3 | 33 |
8 | 4 | 37 |
9 | 2 | 39 |
Las calificaciones en laasignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:
Calificaciones | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Número de alumnos | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 9 | 3 | 4 | 2 |
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas Ni. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene X(39 + 1) / 2 = X20.
* Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
[editar] Ejemplo 2 : Cantidad (N) par de datos
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la...