Estadistica

Econom´ Estad´ ıa ıstica II

Carlos J. Chavarr´ Loor ıa

Apuntes de ayudant´ ıa
Fecha: Mayo 2007

1.

Variables aleatorias

Los eventos de mayor inter´s para cualquier profesional se identifican mediante n´meros e u y reciben el nombre de eventos num´ricos. A un Economista investigador, por ejemplo, le e podr´ interesar el evento de que pa´ ıa ıses en v´ de desarrollo con menor renta per c´pita,ıa a experimenten un menor ´ ındice de natalidad. Cualquier experimento realizado necesita una variable medible, cuyo valor cambiar´ depena diendo del resultado del experimento, esta variable recibe el nombre de variable aleatoria. Definici´n 1.0.1 Una variable aleatoria es una funci´n de valores reales cuyo dominio es o o un espacio muestral.

1.1.

Variables aleatorias discretas y susdistribuciones de probabilidad

Definici´n 1.1.1 Una variable aleatoria Y se denomina discreta si puede adoptar s´lo una o o cantidad finita o infinita contable de valores distintos. Ejemplos 1.1.1 Cantidad de televisores defectuosos en un cargamento. N´mero de electores a favor de determinado candidato o propuesta. u Ahora nos preguntamos: ¿Por qu´ estudiar la distribuci´n de probabilidades de estas variae obles? La respuesta es que necesitamos conocer la probabilidad de un evento observado para hacer inferencias respecto a una poblaci´n. Los eventos de nuestro inter´s por lo general o e ser´n eventos num´ricos. a e

1.2.

Distribuci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta o

Para denotar las v.a. emplearemos may´sculas, como Y , y min´sculas, como y, para reu u presentar valoresparticulares que puede tomar una variable aleatoria. A la probabilidad respectiva de que Y adopte el valor y, la denotaremos mediante P (Y = y). Definici´n 1.2.1 La distribuci´n de probabilidad para una variable discreta Y puede repreo o sentarse mediante una f´rmula, una tabla o una gr´fica, que proporcionan p(y) = P (Y = y). o a Una distribuci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta debecumplir las sio guientes propiedades:

A1-1

Teorema 1.2.1 Cualquier distribuci´n de probabilidades discreta debe satisfacer lo sio guiente: 1. 0 ≤ p(y) ≤ 1 para toda y. 2. p(y) = 1 donde la sumatoria es superior a todos los valores de y con una probabilidad diferente de cero.
y

Ejercicios
1. El ministerio de salud analiz´ los pozos de un pa´ para detectar dos clases de imo ıs purezas que, por locom´n, contiene el agua potable (A y B). En 20 % de ellos no u encontr´ impurezas de ninguna clase, en 40 % detect´ la impureza A y en 50 % la o o B. (Es obvio que algunos conten´ los dos tipos). Determine la distribuci´n de proıan o babilidad de Y , es decir, la cantidad de impurezas que contiene un pozo elegido al azar. Soluci´n: o Sea Y la v.a que define a la cantidad de impurezas contenidas en unpozo. La v.a. Y , puede tomar los valores de 0 (no se encontr´ impurezas); 1 (se encontr´ la o o impureza A o B pero no ambas); y, 2 (se encontaron ambas impurezas en un mismo pozo). Ahora debemos determinar cu´l es la probabilidad de que se encuentren 0, 1 y 2 a impurezas, respectivamente. Esta claro que P (Y = 0) = 20 % (tal como lo indica el ejercicio). Definamos los eventos A y B, como: A: seencontr´ la impureza tipo A o B: se encontr´ la impureza tipo B o Utilizando la ley aditiva de la probabilidad, tenemos:

P(A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0,8 = 0,4 + 0,5 − P (A ∩ B) P(A ∩ B) = 0,1
Distribuci´n de probabilidades o para el ejemplo 1.

y 0 1 2

P (Y = y) 0.2 0.7 0.1

A1-2

2. Se sabe que en un grupo de cuatro componentes hay dos que tienen defecto. Una inspectora los prueba deuno en uno hasta encontrar las dos piezas defectuosas. Una vez que las localiza interrumpe las pruebas, pero prueba la segunda pieza defectuosa por seguridad. Si Y es el n´mero de pruebas en la que se detecta la segunda pieza u defectuosa, determine la distribuci´n de probabilidad para Y . o Soluci´n: o Para detectar la segunda pieza defectuosa, se debe al menos realizar 2, 3 o 4 pruebas; por...