estadistica

AJUSTE LINEAL Y LOGARÍTMICO
Dr, Fernando Quintanar Olguín (2014)

Las técnicas de ajuste lineal que requieren trabajar con logaritmos también llegan a tener diferentes aplicaciones en la psicología moderna. La aplicación inicial fue en la psicofísica clásica, después se aplicó al estudio de ciertos tipos de aprendizaje, siguió la investigación sobre memoria en la psicología cognitiva y lasneurociencias, actualmente tienen aplicaciones en la psicología organizacional, la psicogerontología y la psicología económica entre otras.
La finalidad del presente documento es presentar de manera sintetizada los principales modelos de regresión no lineal y ejercicios que el estudiante pueda realizar como práctica.
Definición de logaritmo :
Se llama logaritmo en base a del número x alexponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, yse denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
Notas y observaciones.
El estudiante debe recordar que los logaritmos son una forma de representar relaciones proporcionales entre diferentes cantidades.
Generalmente la letra ordenada al origen y se refiere al punto donde se origina la recta en el eje Y. Igualmente la letrab se refiere al valor que indica la relación de cambio que tiene una variable cuando cambia la otra y se le llama pendiente.
Al momento de transformar los diferentes modelos puede obtenerse las notaciones del tipo Log en los resultados finales. Cuando sucede esto hay que recordar la necesidad de transformar a antilogaritmos para que los valores regresen a su dimensión origina en escalaaritmética.

1. Relación lineal.
El modelo general es Y = + b X
Primero se calcula el valor de b que es la pendiente o fuerza de cambio de la variable Y según valor de X resolviendo la siguiente expresión.

A continuación se calcula el valor de que se refiere al punto donde se origina la recta.

Una vez calculados los valores de y b solamente se sustituyen los valores que interesan de Xpara predecir Y.
2. Curva Potencial
Otra forma de relación es la curva llamada potencial que tiene el atributo de ser ascendente en forma curveada, y su modelo, tanto simbólico como gráfico es Y = Xb


Para poder predecir mejor un valor determinado de una variable Y es conveniente transformar el modelo potencial a un modelo linealmediante las leyes de los logaritmos, entonces el modelo queda expresado como:
Log Y = Log + b Log X
En este caso la pendiente b se calcula de la siguiente manera (tomando en cuenta que b no tiene Log durante su despeje pero los valores X y Y que se toman de referencia para la predicción si los tienen):

Y el punto del origen de la curva se calcula con:
Log
En este caso la ordenada al origensí tiene Log durante su despeje, por esta razón a su valor final se le calcula el respectivo antilogaritmo.
Una vez calculados los valores de (ordenada al origen) y b (pendiente) se puede calcular un valor de Y considerando un valor dado de X.
Un ejemplo de muestra de esta relación lo tenemos en la tabla 1.
X
Y
1.0
.20
1.5
.45
2.0
.80
2.5
1.25
3.0
1.80
3.5
2.45
4.0
3.204.5
4.05
5.0
5.00
5.5.
6.05

Para ejemplificar el ajuste del modelo trabajaremos con los valores
X
Y
4.0
3.20
4.5
4.05
Entonces los cálculos necesarios serían:
Log 4.05 = Log a + b Log 4.5 y Log 3.20 = Log a + b Log 4.0
Continuando con las substracciones tenemos:

O sea

Substituyendo los logaritmos tenemos:


A partir del valor de b podemos calcular el valor de...