Estadistica

Lecci´n 1: Combinatoria o
Quiz´s alg´n estudiante no esta familiarizado con la combinaroria. El a u objetivo de esta lecci´n es dar los conceptos b´sicos de de esta disciplina. o a

1
1.1

Variaciones
Variaciones ordinarias

Ejemplo 1 Supongamos que tenemos 4 colores Azul = A, Rojo = R, Blanco = B, Amarillo = M.

Con estos 4 colores queremos ver cuantas banderas podemos fabricar. Si lala bandera tiene por ejemplo tres colores, la forma que tendr´ es a

donde cada rect´ngulo lo pintamos de un color. Si utilizamos el azul, rojo y a blanco, est´ claro que las siguientes dos banderas son diferentes: a A R B R A B

Observamos que interviene el orden, si a la izquierda est´ el azul, en el a centro el rojo y a la derecha el blanco, la bandera que obtenemos es diferente a la quetiene el color rojo a la izquierda, azul en el centro y blanco a la derecha. Banderas utilizando un solo color Est´ claro que solo podemos fabricar 4. a A R B M

Banderas utilizando dos colores Si el lado izquierdo de la bandera lo pintamos de azul, entonces tendremos tres banderas diferentes: 1

A

R

A

B

A

M

Como el lado izquierdo lo podemos pintar de 4 colores diferentes, eln´mero u total de banderas de dos colores ser´ 4 · 3. a Pod´ ıamos haber reformulado el problema de la siguiente forma: Si consideramos el conjunto P = {A, R, B, M }, ¿Cuantos subconjunto ordenados (interviene el orden) de dos elementos de P , podemos obtener?. AR, AB, AM, RA, RB, RM, BA, BR, BM, M A, M R, M B. Que intervenga el orden, quiere decir que AR es diferente a RA, lo cual es obvio en elcaso de las banderas. La respuesta es 12. Lo representamos como V42 , se lee variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2, y como hemos deducido con el ejemplo de las banderas V42 = 4 · 3 = 12. Banderas utilizando tres colores El lado izquierdo de la bandera puede estar pintado de 4 colores diferentes.

A

R

B

M

Supongamos que fijamos un color, por ejemplo el amarillo, entonces elcentro de la bandera puede estar pintado con 3 colores diferentes. M A M R M B

Supongamos que fijamos un color, por ejemplo el blanco, entonces para el lado derecho de la bandera nos quedan solo el azul y rojo, esto es, 2 posibilidades. M El n´mero total ser´ u a V43 = 4 · 3 · 2 = 24. V43 se lee variaciones de 4 elementos tomadas de 3 en 3. Banderas utilizando cuatro colores 2 B A M B R

El ladoizquierdo de la bandera puede estar pintado de 4 colores diferentes. A R B M

Supongamos que fijamos un color, por ejemplo el rojo, entonces el trozo de bandera que est´ al lado del trozo pintado por rojo, puede estar pintado con a 3 colores diferentes. R A R B R M

Supongamos que lo pintamos de blanco, entonces el trozo que est´ a la a derecha del blanco solo puede ser pintado de dos colores,el azul o el amarillo R B A R B M

Si fijamos el amarillo, entonces el trozo que queda a la derecha de la bandera solo puede ser pintado de un color, de azul R B El n´mero total ser´ u a V44 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. V44 se lee variaciones de 4 elementos tomadas de 4 en 4. M A

Definici´n 2 Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomao dos de n en n, n ≤ m, a los distintos grupos formadospor n elementos de forma que: • Importa el orden, en el sentido especificado en el ejemplo. • No se repiten los elementos en un mismo grupo. De entre los m elementos, el n´mero de grupos de n elementos con las u caracteristicas antes indicadas es:
n Vm = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − n + 1).

Ejemplo 3 3

1. V73 = 7 · 6 · 5 = 210. 2. V85 = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720. 3. V44 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. 4.¿Cu´ntes n´meros de tres cifras diferentes se pueden formar con los a u d´ ıgitos: 1, 2, 3, 4 y 5?. • Tenemos m = 5 elementos, el 1, 2, 3, 4 y 5, y queremos hacer grupos formados por n = 3 elementos de estos m = 5 elementos. Si tomamos el grupo {2, 5, 1}, hemos elgido primero el 2, despues el 5 y por ultimo el 1, este grupo lo identificamos con el n´mero ´ u 251 • Si importa el orden. El grupo...