estadistica

3

MEDIA, MEDIANA,
MODA, Y OTRAS
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL

ÍNDICES O SUBÍNDICES
El símbolo, Xj (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores X1, X2, X3, . . . , XN que puede tomar
la variable X. A la letra j que aparece en Xj representando a cualquiera de los números 1, 2, 3, . . . , N se le llama subíndice o índice. En lugar de j se puede usar, por supuesto,cualquier otra letra, i, k, p, q o s.

SUMATORIA
El símbolo

PN

j¼1 Xj

se emplea para denotar la suma de todas las Xj desde j = 1 hasta j = N; por definición,
N
X
j¼1

Xj ¼ X1 þ X2 þ X3 þ Á Á Á þ XN

Cuando no puede haber confusión, esta suma se denota simplemente como
letra griega mayúscula sigma y denota suma.
EJEMPLO 1

N
X

P

X,

P

Xj o

P
j

Xj . Elsímbolo

P

es la

Xj Yj ¼ X1 Y1 þ X2 Y2 þ X3 Y3 þ Á Á Á þ XN YN

j¼1

EJEMPLO 2

N
X

aXj ¼ aX1 þ aX2 þ Á Á Á þ aXN ¼ aðX1 þ X2 þ Á Á Á þ XN Þ ¼ a

j¼1

donde a es una constante. O bien simplemente
EJEMPLO 3
blema 3.3.

P

aX ¼ a

P

N
X

Xj

j¼1

X.

Si a, b y c son cualesquiera constantes, entonces

P

ðaX þ bY À cZÞ ¼ a

P

Xþb

P

YÀc

P

Z. Verpro-

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CAPÍTULO 3 MEDIA,

MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos valores típicos tienden a encontrarse en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de acuerdo con sumagnitud, a los promedios se les conoce
también como medidas de tendencia central.
Se pueden definir varios tipos de promedios; los más usados son la media aritmética, la mediana, la moda, la media
geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el
propósito de su uso.

LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, o brevemente lamedia, de un conjunto de N números X1, X2, X3, . . . , XN se denota así: X" (que se
lee “X barra”) y está definida como
N
X

X þ X2 þ X3 þ Á Á Á þ XN
¼
X" ¼ 1
N
EJEMPLO 4

j¼1

Xj

N

P

X
N

¼

(1)

La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es
8 þ 3 þ 5 þ 12 þ 10 38
X" ¼
¼
¼ 7:6
5
5

Si los números X1, X2, . . . , XK se presentan f1, f2, . . . , fKveces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias
f1, f2, . . . , fK), su media aritmética es
K

f X + f2X 2
X = 1 1
f1 + f2

fK X K
fK

fjX j
=

j=1

=

K

fX
=
f

fX
N

(2)

fj
j=1

donde N ¼

P

EJEMPLO 5

f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos).
Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1,respectivamente, su media aritmética es
ð3Þð5Þ þ ð2Þð8Þ þ ð4Þð6Þ þ ð1Þð2Þ 15 þ 16 þ 24 þ 2
X" ¼
¼
¼ 5:7
3þ2þ4þ1
10

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Algunas veces, a los números X1, X2, . . . , XK se les asignan ciertos factores de ponderación (o pesos) w1, w2, . . . , wK,
que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números. En este caso, a
P
w X þ w2 X2 þ Á Á Á þ wK Xk
wX
(3)X" ¼ 1 1
¼ P
w1 þ w2 þ Á Á Á þ wK
w
se le llama media aritmética ponderada. Obsérvese la semejanza con la ecuación (2), la cual se puede considerar como
una media aritmética ponderada con pesos f1, f2, . . . , fK.
EJEMPLO 6 Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85
en el examen final, y 70 y 90 en los dos exámenesparciales, su puntuación media es
ð1Þð70Þ þ ð1Þð90Þ þ ð3Þð85Þ 415
X" ¼
¼
¼ 83
1þ1þ3
5

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CÁLCULO

DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

63

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética es cero....