Estadistica

1.3

TÉCNICAS
DE CONTEO

C

uando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su
espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos
muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número
de posibles resultados del experimento, los que se puedenenumerar fácilmente. Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que
sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento,
tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder
enumerarlos, sino saber contarlos.
Cuando se tienen N objetos, al escoger al azar uno o más de ellos, interesa
calcular la probabilidad de cadaelección. Escoger al azar un objeto de los N
disponibles, significa que cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido: P i   1 / N. Escoger al azar dos objetos de los N, significa que cada
posible par de objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad
de ser elegido que cualquier otro par; si existen k pares diferentes, entonces
la probabilidad es P i   j   1 / k. Yescoger n objetos de los N, significa
que cada posible conjunto de n objetos, sin considerar el orden, tiene la misma
probabilidad de ser elegido que cualquier otra conjunto de n objetos.
n
número de maneras en que puede ocurrir A
P  A  
N número de maneras en puede ocurrir el experimento
El análisis combinatorio estudia los procedimientos y estrategias para contar las posiblesagrupaciones de los elementos de un conjunto, permitiendo determinar el número de posibilidades lógicas que cabe esperar al realizar algún
experimento, sin necesidad de enumerarlas; es una forma abreviada de contar
que se resume en unas cuantas técnicas basadas en procedimientos y fórmulas
recurrentes.

1.3.1

i una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puederealizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones
pueden realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes.
Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras
diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,...,
y una r-ésima acción se puede realizar de nrmaneras diferentes, entonces las r
acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.

1.3.2

S

CARDINALES
FINITOS

PRINCIPIO
FUNDAMENTAL
DEL CONTEO

96
TÉCNICAS DE CONTEO

Ejemplo 1.24. DADOS. Considere el experimento consistente en lanzar dos
dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer
de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y elsegundo dado también puede
caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden
caer ambos dados simultáneamente es: 6  6 = 36.
Ejemplo 1.25. POZOS EXPLORATORIOS. Considere el experimento consistente en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco,
1: productor), el resultadodel segundo, tercero y cuarto pozos también puede
presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente es: 2  2  2  2 = 16.
Ejemplo 1.26. PLACAS. Las placas para automóvil en el D. F. están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras
del alfabeto.¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer?
Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10
maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así
que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa
es: 10  10  10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es
válido, entonces habrá que restarle 1 al valor...