ESTADISTICA

ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA
Soluciones a los problemas del Tema 4
- En todos los contrastes en los que no se indique el nivel de signi…cación,
utiliza = 0:05 como nivel de signi…cación.
1. Una empresa tiene dos plantas de fabricación de pilas. Se sabe que la duración de
una pila fabricada por la planta A es una variable aleatoria (v.a.) con distribución
normal condesviación típica 3 horas, y que la duración de una pila fabricada por la
planta B es una v.a. con distribución normal con desviación típica 2:5 horas. Se ha
observado la duración de 9 pilas de la planta A; la duración media de estas 9 pilas ha
sido 19:2 horas, con una varianza muestral de 9:4 horas2 : Se ha observado también
la duración de 16 pilas de la planta B; la duración media de estas 16 pilasha sido
21:3 horas, con una varianza muestral de 7:7 horas2 : Se quiere contrastar si con los
datos observados, se puede a…rmar que la duración media de las pilas fabricadas por
la planta A es inferior a la duración media de las pilas fabricadas por la planta B.
(a) Escribe la hipótesis nula y la alternativa.
(b) Si se toma como nivel de signi…cación

= 0:10;

i. ¿hay evidencia su…cientepara rechazar la hipótesis nula?
ii. ¿cambiaría la respuesta si se tomara como nivel de signi…cación
iii. ¿y si se tomara como nivel de signi…cación = 0:01?

= 0:05?

(c) Calcula el p-valor del contraste.
(d) Un encargado de la empresa, con pocos conocimientos de Estadística, dice que
él rechazaría la hipótesis nula si la diferencia entre la duración media de la
muestra de 16 pilas de laplanta B y la duración media de la muestra de 9 pilas
de la planta A es superior a una hora. Si efectuamos el contraste siguiendo el
consejo del encargado, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error de tipo I?
Solución:
(a) Llamando XA a la v.a. que indica la duración de una pila fabricada por la
planta A y A a su media, nos indican que XA
N ( A ; 32 ): Análogamente,
llamando XB a la v.a.que indica la duración de una pila fabricada por la planta
B y B a su media, nos indican que XB N ( B ; 2:52 ): Queremos contrastar:
H0 :
H1 :
1

A
A

B

<

B

que es equivalente a contrastar:
H0 :
H1 :

=
<

A
A

B
B

(b) Puesto que las distribuciones de X e Y son normales y sus desviaciones típicas
son conocidas, nuestro estadístico de contraste es:
XA
T =q 2

AnA

XB
+

2
B

nB

que bajo H0 se distribuye como una distribución normal estándar.
En la muestra, el estadístico toma el valor
19:2
t= q

32
9

21:3
+

=

1:78

2:52
16

Rechazaremos la hipótesis nula si este valor está en la región crítica, que en
este caso es ( 1; z ).

i. Si tomamos como nivel de signi…cación = 0:10; debemos calcular z0:10 =
1:28: Como elvalor que toma T en la muestra es t = 1:78, que está dentro
de la región ( 1; 1:28); se rechaza la hipótesis nula y concluimos que
con un nivel de signi…cación de 0:10; los datos nos dan evidencia para
a…rmar que la duración media de las pilas fabricadas por la planta A es
inferior a la duración media de las pilas fabricadas por la planta B.
ii. Si tomamos como nivel de signi…cación = 0:05;entonces el valor que
debemos calcular es z0:05 = 1:64:Como t = 1:78 también está dentro de
la región ( 1; 1:64); también se rechaza la hipótesis nula y concluimos
que con un nivel de signi…cación de 0:05; los datos nos dan evidencia para
a…rmar que la duración media de las pilas fabricadas por la planta A es
inferior a la duración media de las pilas fabricadas por la planta B.
iii. Finalmente,si tomamos como nivel de signi…cación = 0:01; debemos calcular z0:01 = 2:33: Como t = 1:78 no está dentro de la región ( 1; 2:33);
no se rechaza la hipótesis nula y concluimos que con un nivel de signi…cación de 0:01; con los datos observados no podemos a…rmar que la duración media de las pilas fabricadas por la planta A es inferior a la duración
media de las pilas fabricadas por la planta...