estadistica

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

Distribución de probabilidad normal

La distribución más importante de probabilidad para describir una variable aleatoria continua es la distribución de probabilidad normal. Esta tiene un gran variedad de aplicaciones practicas en las que las variables aleatorias son altura y peso de personas puntuaciones de examen, mediciones científicas,precipitaciones, etc.

También se utiliza en inferencia estadística, que es el tema principal, en estas aplicaciones la distribución de probabilidad normal permite tener una descripción de los resultados probables obtenidos mediante el muestreo.

Curva Normal

La forma de la distribución de probabilidad normal es la curva acampanada de la de la figura 1.

La función de densidad de probabilidad quela define es la siguiente:











Hay ciertas observaciones por hacer acerca de las características de la distribución de la probabilidad normal.

1.- La familia completa de distribuciones de probabilidad normal se diferencia por µ y su desviación estándar σ.

2.- El punto mas alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la moda de la distribución.
3.- Lamedia de la distribución puede ser cualquier valor numérico: negativo, cero o positivo, La

Variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞).



4.- La distribución de probabilidad normal es simétrica, y su forma a la izquierda de la media es una imagen peculiar de la forma de la derecha de la media. Las colas, es decir los extremos o los lados de la curva se prolongan al infinito en ambasdirecciones, nunca tocan el eje horizontal.

5.- La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la desviación estándar se tienen curvas mas anchas y bajas, que muestran una mayor dispersión de los datos.

A continuación vemos dos distribuciones normales





6.- Las probabilidades para la variable aleatoria normal están dadas por áreas bajo la curva. Elárea total bajo la curva para la distribución de probabilidad normal es 1 (esto se cumple para todas las distribuciones continuas de probabilidad). Debido a que la distribución es simétrica, el área total bajo la curva a la izquierda de la media es 0.50 y el área total bajo la curva a la derecha es 0.50.

7.- El porcentaje de valores en algunos intervalos de uso común son: cubren respectivamenteel 68.26%, 95.44% y 99.74% de área.

Áreas bajo la curva de cualquier distribución de probabilidad normal



Distribución normal estandarizada N (Z, 0,1)


Todas las variables con distribución normal N (X, pueden transformase en otra distribución normal mas simple con y , N, a esta distribución de llama normal estandarizada o normal reducida.

Como otras variables aleatoriascontinuas, los cálculos de probabilidad con cualquier distribución normal se llevan a cabo determinando las áreas bajo la grafica de la función de densidad de probabilidad. Así para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria normal este dentro de un intervalo especifico, debemos calcular el área bajo la curva normal en ese intervalo. Para la distribución de probabilidad normal estándar se handeterminado las áreas bajo la curva norma, y se muestra en tablas que se pueden usar para calcular probabilidades.

Búsqueda en la tabla de valor de Z

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Centésimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)


P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z≤ b )

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
Ejemplos:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que...