Estadistica

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Nos encontramos con un modelo derivado de un proceso experimental puro, en el que se plantean las siguientes circunstancias.



▪ Se realiza un número n de pruebas (separadas o separables).

▪ Cada prueba puede dar dos únicos resultados A y Ã

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· La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un resultado à es q, con q=1-p, en todas las pruebas. Esto implica que las pruebas se realizan exactamente en las mismas condiciones y son , por tanto ,independientes en sus resultados. Si se trata de extracciones, (muestreo), las extracciones deberán ser con devolución (reemplazamiento) , o bien población grande (M.A.S). A este respecto hagamos una consideración: si el proceso consiste en extraer individuos de una poblacióny observar si poseen cierta característica: el parámetro n será el número de extracciones (tamaño muestral) y el parámetro p la proporción de individuos de la población que poseen la característica en cuestión. Se ha comentado que para que la probabilidad, de que en cada extracción obtengamos un individuo poseedor de la característica sea constante en todas la pruebas es necesario que lasproporciones poblacionales no cambien tras cada extracción es decir se reemplace cada individuo extraído .Sin embargo si la población es muy grande, aunque no reemplacemos los individuos extraídos las variaciones en las proporciones de la población restante serán muy pequeñas y, aunque de hecho las probabilidades de, obtener un éxito varíen tras cada prueba, esta variación será muy pequeña y podremosconsiderar que son constantes .



Ejemplo:

Supongamos que una ciudad hay 1000000 de habitantes de los cuales 450000 son varones y 550000 son mujeres . Si extraemos un individuo al azar la probabilidad. de que sea mujer será. [pic]

Si repetimos esta prueba varias veces y no reponemos "en el saco" al sujeto extraído la probabilidad de obtener una mujer en cada siguiente extracción variará,al variar la composición por sexos de la población restante. Sin embargo, al ser la población tan grande, la variación de esta probabilidad con cada sucesiva prueba será prácticamente despreciable y podremos considerar, en la práctica que las probabilidades son constantes: en efecto:



Si, en la primera prueba obtenemos una mujer y no la reintegramos a la población la de probabilidad deobtener una mujer en la segunda prueba será:

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Si por el contrario en la primera prueba se obtiene un varón la probabilidad de obtener una mujer el siguiente será: [pic]

Por lo tanto bien podríamos considerar que la probabilidad de extraer una mujer en sucesivas elecciones aleatorias es constante. En consecuencia, si consideráramos el muestreo de 10individuos de esa ciudad, aunque no reemplazáramos las extracciones, la variable aleatoria x = número de mujeres obtenidas en las diez extracciones, seguiría una distribución binomial de parámetros n = 10 Y p= 0.55.



Sin embargo, si la población es pequeña, las variaciones de la probabilidad de éxito con cada prueba serán importantes sino se devuelve a la población original cada sujeto extraído .Eneste caso, no podremos considerar que p y q son constantes a lo largo de todo el proceso y el número de éxitos obtenidos en n pruebas será una variable aleatoria que no seguirá una distribución binomial sino una nueva distribución que estudiaremos , más tarde llamada hipergeométrica.



· En estas circunstancias se aleatoriza de forma que variable aleatoria signifique:



X = nº deresultados A que se obtienen en las n pruebas



Se plantean dos valores con variación por lo que tendremos dos parámetros p y n , por lo que la distribución binomial se explicitará :

El campo de variación de la variable será {0,1,2,3,..., n}, por lo que no es necesario comentar que es de carácter discreto. Así tendremos que si queremos calcular la probabilidad de que X=1 en n pruebas ,...