Estadistica

CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD

47

Ejercicio 3.1.5. La ruta utilizada por cierto automivilista para ir al trabajo
tiene dos cr´ces con sem´foro. La probabilidad de que pare en el primer
u
a
semaforo es de 0.4, la probabilidad an´loga para el segundo sem´foro es 0.5,
a
a
y la probabilidad de que se detenga por lo menos en uno de los sem´foros es
a
0.6. ¿Cu´l es la probabilidad de que sedetenga:
a
a. en ambos sem´foros?
a
b. en el primero, pero no en el segundo?
c. exactamente en uno de ellos?

3.2.

T´cnicas de conteo
e

En algunos experimentos no es f´cil enumerar todos los posibles resultados
a
de ´ste. Se hace necesario entonces proponer m´todos que permitan el conteo
e
e
de dichos resultados.

3.2.1.

REGLA MULTIPLICATIVA

Si una operaci´n puededescribirse como una secuencia de k pasos donde
o
el n´mero de maneras de completar el paso 1 es n 1 , para cada manera de
u
completar el paso 1 existen n 2 maneras de completar el paso 2, y as´ sucesiı
vamente, entonces el n´mero total de formas de completar la operaci´n es.
u
o
k

ni
i=1

Ejemplo 3.2.1. En una operaci´n de manufactura se produce una pieza
o
con operaciones demaquinado, pulido y pintado. Existen tres herramientas
para maquinado, cuatro para pulido y tres para el pintado. ¿Cuantas rutas distintas (maquinado – pulido - pintura) son posibles para fabricar una
pieza?
Soluci´n
o
N´mero de
u
N´mero de
u
N´mero de
u
N´mero de
u

formas de operaciones de maquinado: 3
operaciones de pulido : 4
operaciones de pintado : 3
rutas diferentes: 3 × 4 × 3 = 36CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD

3.2.2.

48

PERMUTACIONES

Una permutaci´n es un arreglo ordenado de un conjunto de objetos. El
o
n´mero de permutaciones (acomodos) de n elementos diferentes es n!.
u
El n´mero de permutaciones (acomodos) de r elementos seleccionados de un
u
conjunto de n elementos distintos se denota P n y
r

n! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) . . . 2 ∗ 1

n
P r = n(n − 1) (n − 2) · · · (n − r + 1) =

n!
(n − r)!

Ejemplo 3.2.2. Juan, Carlos, Ana, y Milena esperan en la parada del
autob´s. ¿De cuantas maneras se pueden filar para subir al bus? Si s´lo
u
o
hay puesto para dos, ¿De cuantas maneras se pueden organizar ellos en los
primeros dos lugares?
Soluci´n
o
Usemos las iniciales para mayor facilidad: JCAM
# Formas en que se pueden filar: 4! = 244!
# Formas en que se pueden acomodar en dos lugares: P 4 = 2! = 12
2
El n´mero de acomodos de n = n 1 + n 2 + . . . + n k objetos de los cuales
u
n 1 son del tipo 1, n 2 son del tipo dos, n k del tipo k , es:
n
Pn1 ... nk =

n!
n!1 n!2 . . . n!k

Ejemplo 3.2.3. Una pieza se etiqueta usando 4 l´
ıneas delgadas, tres l´
ıneas
medianas y dos l´
ıneas gruesas. Si cada ordenamientode las nueve l´
ıneas representa una etiqueta diferente. ¿Cu´ntas etiquetas distintas pueden genera
arse con este esquema?

CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD

49

Soluci´n
o
El n´mero de etiquetas diferentes es:
u

P4, 3, 2 =

9
= 1260
4! 3! 2

El numero de subconjuntos de tama˜o r distintos, que pueden seleccionarse
n
n
de un conjunto de n elementos, se denota
o C n o nC r y
´´
r
r

n
r

=

n!
Pn
r
=
r!
(n − r)! r!

Propiedades
n
0
n
1

=

=

n
n
n
n−1

=1

=n

0! = 1

Ejemplo 3.2.4. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar dos cartas
y sin reemplazo. ¿Cu´ntas muestras de dos cartas contienen un As y un
a
dos? ¿Cu´ntas muestras contienen un diez y una figura? ¿Cu´ntas muestras
a
a
contienen dos figuras?
Soluci´n
o
Definalos siguientes eventos:
A: La carta extra´ es un As;
ıda
D: La carta extra´ es un dos
ıda
F: La carta extra´ es una figura;
ıda
T: La carta extra´ es un diez
ıda

CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD

50

a) Maneras de extraer un As de 4 posibles:

4
1

b) Maneras de extraer un dos de 4 posibles:

4
1

c) Maneras de extraer un AS y un dos:

4
4
×
1
1

d) Maneras de extraer...