Estadistica






Este documento es un ejercicio de distribución normal, aplicado en un ejemplo de hidrología para estimar los gastos que se registran anualmente en una estación hidrométrica.
I. MARCO TEORICO
Una vez se asigna un periodo de retorno al gasto de diseño de la obra en cuestión, generalmente es necesario, para conocer dicho gasto de diseño, hacer extrapolaciones a partir de los gastos máximosanuales registrados, pues rara vez este periodo es menor al periodo de datos.
En la estadística existen decenas de funciones de distribución y probabilidad teóricas; de hecho, existen tantas como se quiera. Por lo tanto, es necesario escoger de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo análisis.
La función normal es apropiada para variables aleatorias qué cubren todo el rango devalores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, el uso de la función puede tener ciertas limitaciones.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es importante en estadística por:
Las numerosas variables continuas, de fenómenos aleatorios tienden a comportarse probabilísticamente mediante ésta.
Es el límite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas.Proporciona la base de la inferencia estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.












Modelo Matemático
La función de densidad de probabilidad normal se define como:

Donde µ y σ son los parámetros de la distribución. Estos parámetros determinan la forma de la función ƒ(x) y su posición en el eje x. Es posible demostrar que µ y σ son, respectivamente, la media y ladesviación estándar de la población y pueden estimarse como la media y la desviación estándar de los datos. De acuerdo con la ecuación.


La función de distribución de población normal es:



Hoy en día, no se conoce analíticamente la integral de la ecuación 1.3, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para evaluarla. Sin embargo, para hacer esto se requería una tabla para cadavalor de µ y σ, por lo que se ha definido la variable estandarizada.


Que está normalmente distribuida con media cero y desviación estándar unitaria. Así, la función de distribución de probabilidad (ecuación 1.3) se puede escribir como:
ƒ(x)
σ1σ2
σ3


σ1 σ2 σ3






Figura 1.1


La función F(z) se ha calculado numéricamente y se han publicado tablas de ella. En la tabla 1 se muestra esta función.
Debido a que la función F (z) es simétrica, en dicha tabla se encuentranúnicamente valores de:
Con lo que es posible calcular F (z) para cualquier valor de z. Otra manera de estimar ƒ (z) o F(z), más conveniente si se usa una computadora, es mediante fórmulas aproximadas. La función de densidad ƒ (z) se aproxima, con una precisión mayor de 2.27 x 10-3, como (0 ≤ P (A) ≤ 1):

Donde
= 2.490895
= 1.466003
= -0.024393
= 0.178257
Y la función de distribución como (0 ≤ P(A) ≤ 1):
F (z) = H (z), z > 0
F (z) = 1- H (z), z < 0
Donde

Siendo q =
b0 = 0.33267
b1 = 0.43618
b2 = -0.12017
b3 = 0.93730

¿QUÉ ES UNA ESTACIÓN HIDROMÉTRICA?
Las estaciones hidrométricas consisten esencialmente en una o varias reglas graduadas (escala o limnímetro) colocadas verticalmente y perfectamente niveladas entre sí y con referencia a un plano dado en una sección de río, arroyo,laguna o embalse.

Serie de escalas (limnímetros) en la margen de un río.
Figura 1.2
Mediante el auxilio de un operador (escalero) que reside o trabaja en las proximidades de la estación se registra en planillas los niveles observados a horas preestablecidas y todo otro evento relevante para el funcionamiento de la estación.  Estas planillas se remiten mensualmente a las oficinas de la DNH...