Estadistica


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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS


Sumario: 4.1- Introducción. 4.2- Características de las variables aleatorias discretas.
4.3- Proceso de Bernoulli. 4.3.1- Distribución Binomial. 4.3.2- Distribución de Pascal. 4.4- Extracciones sin reposición. 4.4.1- Distribución Hipergeométrica. 4.4.2- Distribución de Pascal-Hipergeométrica. Apéndice: 4A.- Media yvarianza en el muestreo sin reposi­ción.


4.1 INTRODUCCIÓN
Como vimos en el capítulo 1 , una variable aleatoria es una variable cuyos valores expresan o miden resultados de un fenómeno aleatorio. Son ejemplos:

1) El resultado obtenido al arrojar un dado.

2) El número de personas que llegan a un local en un período de tiempo dado.

3) El número de piezas defectuosas obtenidas en una muestra de 200unidades
de un proceso productivo.

4) El número de potrillos que nacen anualmente en un haras.

5) El tiempo que tardan en ser atendidas las personas que llegan a un banco.

6) Los pesos de los novillos que salen a venta en un establecimiento agropecuario.

7) Los tiempos de producción de piezas seriadas.

8) La resistencia a la rotura de distintas muestras de hilo de coser.

Losejemplos 1) a 4) son de una naturaleza diferente de los 4 últimos. En los primeros, la variable es discreta, es decir, toma valores aislados, casi siempre enteros, dentro de su dominio; en los últimos, la variable es continua, es decir, puede tomar cualquier valor, en el campo de los números reales, dentro de su dominio.

En la mayoría de los casos, el dominio de una variable discreta es un subconjuntode la serie natural 0, 1, 2, ..., pero pueden darse casos de variables discretas cuyo dominio contenga valores no enteros. Sea, por ejemplo, un lote de N ejes cuyos diámetros desconocemos; la medida del diámetro de uno de ellos es, en realidad, una variable aleatoria discreta, ya que sólo puede tomar uno de los N valores. En rigor, toda población finita (como el lote de ejes), da lugar avariables aleatorias discretas.
En un enunciado unificado, podemos definir las variables discretas (continuas) como sigue:

Definición: Se dice que una variable aleatoria es discreta (continua) si entre dos valores cualesquiera de su dominio existe un número finito (infinito) de posibles valores que también pertenecen al dominio.

En este capítulo trataremos las variables discretas, postergando parael Capítulo 6 el estudio de las continuas.


4.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
4.2.1 Las funciones de probabilidad y de distribución
Cada fenómeno aleatorio genera su propia variable, por lo tanto, el primer punto a considerar es cómo podemos diferenciar o caracterizar distintas variables aleatorias. Esto se consigue asignando una probabilidad a cada uno de los valores deldominio. Dicho de otro modo, dada una variable aleatoria r , cuyo dominio comprende los valores r1, r2, ..., rN , con probabilidades P (r1) , P (r2) , ... , P(rN) , llamamos distribución de la variable al conjunto de pares ordenados {ri, P (ri)} para i = 1 a N . Para las probabilidades P (ri) , usamos también la siguiente notación:

(4-1) P (r = ri) = P (ri)

que se lee: “Laprobabilidad de que la variable r sea igual a ri vale P (ri) ”. Obsérvese que r en negrita no representa un valor numérico, sino una abreviatura de la frase “la variable r ”.
La función P (r) se denomina "función de probabilidad" y debe cumplir con las siguientes condiciones:
(4-2) P (ri) > 0 para i = 1 a N (4-3) = 1

Frecuentemente es necesario calcular la probabilidad deque la variable tome un valor menor o igual que un dado r, que se expresa

(4-4) P (r  r) = F (r)

y también la probabilidad de que la variable tome un valor mayor o igual que un dado r:

(4-5) P (r  r) = G (r)

Las funciones F (r): y G (r) se denominan función de distribución izquierda y derecha respectivamente. Se las llama también funciones de probabilidad...