estadistica

Distribuciones Bivariadas
Luz Helena Cuesta Velasquez
20102167059
Mayra Aejandra Quiroga Quintero
20102167058

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Distribuciones Bivariadas
´ de densidad
Ejercicio 5.7 Supongamos que X y Y tienen la funcion
conjunta.
e−(x+y) , si x > 0, y > 0 ,
f (x, y) =
0,
en otros casos.
a Cual es laP(X < 1, Y > 5)

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Distribuciones Bivariadas

∞

1

P(X < 1, Y > 5)

e−(x+y) dxdy

=
0

5
1

∞

e−y (−e−x )|0 dy

=
0
1

e−y (0 + e−5 )dy

=
0
1

e−5 (e−y )dy

=
0
−5

= e

1

(−e−y )|0

= e−5 (−e−1 + 1)
= 0.00426

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Distribuciones Bivariadas
b Cual es la P(X + Y < 3)
P(X + Y < 3)

= P(X < 3 − Y )
3

3−y

e−(x+y) dxdy

=
0

0
3

3−y

e−y (−e−x )|0

=
0

dy

3

e−y (−e−(3−y) + 1)dy

=
0
3

(−e−3 + e−y )dy

=
0

3

= −e−3−2y − e−y |0
= −e−3 − e−3 − 2e−3 + 1
= −4e−3 + 1
= 0.8009
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Distribuciones Bivariadas
´ de densidad conjunta.
Ejercicio 5.9 Tengan X y Y una funcion
f (x, y) =

k(1 − y ), si 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 ,
0,
en otros casos.

´
´ de densidad
a) Encuentre el valor de k que haga de esta
una funcion
de probabilidad.
´
Solucion
1

y

1

k (1 − y )dxdy
0

kx − kxy

=

0

0

y
0

dy

1

(kY − ky 2 )dy

=
0

ky 2
ky 3
−
2
3
k
k
=
− =1
2
3
k
=
=1
6
= 6
=

k

1
0

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Distribuciones Bivariadas
b) Encuentre P(X ≤

3
1
, Y ≥ ).
4
2

´
Solucion
Como X ≤ Y , la probabilidad se puede ver como la suma de dos
partes, entonces:
P X ≤

1
3
,Y ≥
4
2

1

1

3/4

1/2

1/2
1
1/2 dy

1
x dx

1/2
3/4

(3 − (6x − 3x 2 ))dx

(3 − 6y + 3y)dy +
1/2

=

(6y − 3y 2 )

+1

=

x

3/4

(6x − 6xy )
1/2

=

6(1 − y)dydx
1/2

1

=

=

1

6(1 − y)dxdy +

=

1/2

3y 2 1
2
3 3/4
1/2 + (3x − 3x + x ) 1/2
2
3 3 3
9 27 27 3 3 1
3− − + +
−
+
− + −
2 2 8
4 16 64 2 4 8
31/64
3y −

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Distribuciones Bivariadas
´ de densidad conjunta de X y Y esta dada
Ejercicio 5.13) Lafuncion
por
30xy 2 , si x − 1 ≤ y ≤ 1 − x; 0 ≤ x ≤ 1 ,
f (x, y ) =
0,
en otros casos.

a) Encuentre F

1 1
,
2 2

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Distribuciones Bivariadas
´
Solucion
1/2

F (1/2, 1/2)

1/2

30xy 2 dydx

=
0

x−1
1/2

10xy 3

=
0
1/2

=
0

=
=
=

1/2
x−1

dx

10x
− 10x(x − 1)3 dx
8

x5
3x 4
x2
5x 2
−10
−
+ x3 −
8
5
4
2
5
1
3
1 1
− 10
−
+ −
32
160 64 8 8
9
16

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1/2
0

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b) Encuentre F

1
,2
2

Como
F (1/2, 2) = F (1/2, 1) = P(X ≤ 1/2, Y ≤ 1) + P(x ≤ 1/2, Y ≥ 1/2).
Luego:
1

P(X ≤ 1/2, Y > 1/2)

1−y

30xy 2 dxdy

=
1/2

0

1

(15x 2 y 2 )

=
1/2

1−y
0

dy

1

15y2 (1 − y)2 dy

=
1/2

=
=
=

y4
y3 1
y5
−
+
1/2
5
2
3
15
3
15 5
3−
+5−
−
+
2
32 32 8
1
4

15

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Pero sumandola al item a se tiene:
F

1
,2
2

=

9
1
13
+ =
16 4
16

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c) Encuentre P(X > Y )
P(X > Y )

= 1 − P(X ≤ Y )
1/2

1−x

30xy 2 dydx

= 1−
0

x
1/2

= 1−

30x
0

y3
3

1−x
x

dx

1/2

10x (1 − x)3 − x 3 dx

= 1−
0

= 1 − 10

(1 − x)5
(1 − x)4
−x 5
+
−
5
5
4

(−1/2)5
(1/2)5
(1/2)4
+
−
5
5
4
−1
1
1
1
= 1 − 10
+
−
+
160 160 64 20
11
21
= 1−
=
= 0.65625
32
32
= 1 − 10

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