estadistica

3. Medidas de posición y variación para datos agrupados y no agrupados.
3.1. Media aritmética, Mediana y Moda.
Media aritmética
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombrede media muestral siendo uno de los principales estadísticos muéstrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres ydividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.
También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.
Una de las limitaciones de lamedia aritmética es que se trata de una medida muy sensible a los valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla mientras que valores muy bajos tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.
Definición
Dados los n números, la media aritmética se define simplemente como:


Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza laletra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (), mientras que la letra µ (mi) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

Propiedades
La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

La media aritmética está comprendida entre el valor máximo yel valor mínimo del conjunto de datos:


Mediana (estadística)
En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50%del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decir.
Cálculo
Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.
Datos sin agrupar
Sean  los datos de una muestra ordenada en ordencreciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición (n + 1) / 2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9 => El valor central es eltercero: x(5 + 1) / 2 = x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n / 2 yn / 2 + 1. Es decir: Me = (xn / 2 + xn / 2 + 1) / 2.
Porejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 10 => Hay dos valores que están por debajo del  y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: .


Datos agrupados
Al tratar con datos agrupados, si  coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de...