estadistica

Apuntes de
ESTAD´ISTICA

Distribuciones de probabilidad

Sixto S´
anchez Merino
Dpto. de Matem´atica Aplicada
Universidad de M´alaga

Apuntes de Estad´ıstica
2009, Sixto S´anchez Merino.
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Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechos morales del autor.Cap´ıtulo 5

Distribuciones de probabilidad
En el cap´ıtulo anterior hemos visto el concepto de variable aleatoria distinguiendo dos tipos: discreta
y continua. En este cap´ıtulo vamos a presentar las distribuciones de probabilidad de algunas variables aleatorias particulares que son de especial importancia por representar los modelos te´oricos de muchos fen´omenos
aleatorios.

5.1.Distribuciones de Probabilidad de una v.a. discreta

Como se sabe, la ley de probabilidad de una v.a.d. X est´a definida si se conoce su distribuci´on de
probabilidad P (xi ) = P (X = xi ) con i = 1, 2, ... , ´o bien si se conoce su funci´on de distribuci´on F (x), teniendo
que
P (X = xi ) = 1

F (x) = P (X ≤ x) =

y adem´as

P (X = xi )
xi ≤x

i≥1

A continuaci´on vamos a ver las principales distribucionesdiscretas de probabilidad.

5.1.1.

Distribuci´
on Uniforme

Una variable aleatoria discreta X que toma los valores enteros x1 , x2 , x3 , ..., xn con probabilidades
P [X = xk ] =

1
n

con

k = 1, 2, . . . , n

recibe el nombre de variable uniforme discreta, su distribuci´on de probabilidad distribuci´
on uniforme discreta
y se denota por X ❀ U (x1 , x2 , ..., xn ).
En el caso particular de que lavariable tome como valores los primeros n´
umeros naturales:
P [X = k] =

1
n

con

k = 1, 2, . . . , n

entonces su media, varianza y desviaci´
on t´ıpica son:
µx =

n+1
2

,

σx2 =

n2 − 1
12

,

σx =

n2 − 1
12

Ejemplo 5.1 Resultados al lanzar un dado o elegir al azar entre varias posibilidades. En todos ellos, se trata
de representar el caso en el que no tenemos informaci´
on sobre laimportancia de un resultado u otro.
91

CAP´ITULO 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

92

5.1.2.

Distribuci´
on de Bernouilli

Un experimento que s´
olo admite 2 resultados posibles excluyentes:
- Suceso A (representa el ´exito) con probabilidad P (A) = p.
- Suceso Ac (representa el fracaso) con probabilidad P (Ac ) = 1 − p = q.
recibe el nombre de prueba de Bernouilli.
Consideremos la v.a.d. X asociadaal experimento que asocia el valor 1 al suceso A con probabilidad p y el
valor 0 al suceso Ac con probabilidad q. Esta variable recibe el nombre de variable de Bernouilli y se denota
por X ❀ Ber(p).
La distribuci´on de probabilidad es:
P (X = 1) = p

P (X = 0) = 1 − p = q

y

con

p+q =1

y su media, varianza y desviaci´
on t´ıpica son:
µx = p

,

σx2 = p · q

,

σx =

√

p·q

Ejemplo 5.2Estudiar los resultados de lanzar una moneda perfecta o trucada, el sexo de un colectivo, la validez
de una pieza fabricada, etc. Todos ellos corresponden a experimentos con dos resultados posibles e incompatibles
y no necesariamente de igual probabilidad.

5.1.3.

Distribuci´
on Binomial

Supongamos que se realizan n pruebas de Bernouilli sucesivas e independientes. Entonces, a la variable
aleatoria...