Estadistica10d Vale

DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. INTRODUCCIÓN
2. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL
3. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL REDUCIDA (TIPIFICADA)
3.1.COMPROBACIÓN DE QUE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL REDUCIDA
ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
4. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN . EJEMPLO 1
5. FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS
6. MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.
7. COEFICIENTES DE ASIMETRÍA Y KURTOSIS DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL.8. TEOREMA DE ADICIÓN. EJEMPLO 2
9. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS DISTRIBUCIONES NORMALES .
EJEMPLO 3
10. DISTRIBUCIONES NORMALES-TRANSFORMADAS

1. Introducción
La distribución normal es, con mucho, la más importante de todas las distribuciones de
probabilidad. Es una distribución de variable continua, con campo de variación
]- , [. Fue descubierta por Gauss al estudiar la distribución de loserrores en las
observaciones astronómicas. Debe su importancia a tres razones fundamentales:
Por un lado, un gran número de fenómenos reales se pueden modelizar con esta
distribución (tales el caso de las características cuantitativas de casi todas las grandes
poblaciones), por otro lado, muchas de las distribuciones de uso frecuente tienden a
aproximarse a la distribución
normal bajo ciertascondiciones; y,
por último, en virtud del Teorema
Central del Límite, todas aquellas
variables que puedan considerarse
causadas por un gran número de
pequeños efectos (como pueden ser
los errores de observación) tienden
a distribuirse con una distribución
normal.
Para
comprender
mejor
la
distribución normal planteemos su
descubrimiento, en un pequeño
gráfico. Nos encontramos midiendo
la distancia a unastro (d);
evidentemente
cada
distancia
observada no ha de ser es igual a la anteriormente tomada pues cometemos errores
medición, bien por nosotros, bien por lo instrumentos. Teóricamente un error puede ser
tan grande que la distancia observada sea más infinito, y también teóricamente, menos
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Curso 2010-2011
Juan Mtnez. de Lejarza
Ignacio Mtnez. de Lejarza

infinito. Plasmamos en ungráfico, y sobre un eje, cada observación que realizamos (en
el gráfico anterior un cuadrado).
Cuantas
más
observaciones
realizamos los diversos cuadrados,
en conjunto, van tomando una
determinada
forma;
si
nos
planteamos calcular la expresión
analítica de dicha forma (ver
gráfico adjunto) llegamos a la
función de la curva, que tomada
como función de densidad, pues
posee las características de dichotipo de funciones, es la de la
distribución normal. Dependiente,
como se observa de dos parámetros:
uno, el valor central de la curva, y,
otro, la distancia de dicho valor a
los puntos de inflexión (luego
comprobaremos que dichos parámetros son la media y la desviación típica).
La distribución normal es una distribución de variable continua que queda especificada
por dos parámetros de los que dependesu función de densidad y que resultan ser la
media y la desviación típica de la distribución. Su estudio teórico suele introducirse
directamente a partir de su función de densidad.

2. La distribución Normal general
Como se ha dicho, depende de dos parámetros,  ,  , que como luego
comprobaremos, son su media y su desviación típica.
El hecho de que una variable x se distribuya con unadistribución normal de media  y
desviación típica  se representa por:
X  N[ ; ] ó L(X) N[ ; ]
(Aunque nosotros seguiremos este sistema de especificación, es bastante corriente,
también‚ que a la distribución normal se la especifique por los parámetros media y
2
varianza ( en vez de desviación típica),  , 

Su función de densidad es:
Las características de dicha función de densidad serán:
Sirealizamos la primera derivada de dicha función tendremos que:
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dado que:

la segunda derivada será:

Igualando a cero la primera derivada obtenemos que y'=0 para X =  y para X = .
Como la segunda derivada en x =  es negativa, concluimos que la función de
densidad presenta un máximo en X = , lo que nos hace afirmar que...