estadistica2

Teorema del límite central
Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media y desviación estándar , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a y una desviación estándar de . La aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

Ejemplo
Para ladsitribución muestral de medias del ejercicio pasado, encuentre:
a. El error muestral de cada media
b. La media de los errores muestrales
c. La desviación estándar de los errores muestrales.
Solución:
a. En la tabla siguiente se ven las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales:
Muestra
x
Error muestral, e=x-
(0,0)
0
0 - 3 = -3
(0,2)
1
1 - 3 = -2
(0,4)
2
2 - 3 = -1
(0,6)
3
3 –3 = 0
(2,0)
1
1 – 3 = -2
(2,2)
2
2 – 3 = -1
(2,4)
3
3 – 3 = 0
(2,6)
4
4 – 3 = 1
(4,0)
2
2 – 3 = -1
(4,2)
3
3 – 3 = 0
(4,4)
4
4 – 3 = 1
(4,6)
5
5 – 3 = 2
(6,0)
3
3 – 3 = 0
(6,2)
4
4 – 3 = 1
(6,4)
5
5 – 3 = 2
(6,6)
6
6 – 3 = 3
b. La media de los errores muestrales es e, es:

c. La desviación estándar de la distribución de los errores muestrales
e, es entonces:

La desviación estándar de ladistribución muestral de un estadístico se conoce como error estándar del estadístico. Para el ejercicio anterior el error estándar de la media denotado por x, es 1.58. Con esto se puede demostrar que si de una población se eligen muestras de tamaño n con reemplazo, entonces el error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la distribución de los errores muestrales.
En general se tiene:Cuando las muestras se toman de una población pequeña y sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para encontrar x .

donde es la desviación estándar de la población de donde se toman las muestras, n es el tamaño de la muestra y N el de la población.
Como rfegla de cálculo, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra(N20), entonces se puede usar la fórmula.
El factor se denomina factor de corrección para una población finita.
Ejemplo:
Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:
Maestro de matemáticas
Antiguedad
A
6
B
4
C
2
Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media paracada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.
Solución:
Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.
Muestras
Antigüedad
Media Muestral
A,B
(6,4)
5
A,C
(6,2)
4
B,C
(4,2)
3
La media poblacional es:
La media de la distribuciónmuestral es:
La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que:
Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que debentomarse cuando se calcula el valor del error estándar:

Distribución Muestral de Medias
Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.
Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguientefórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.
Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento...