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ESTADISTICAS

1. INTRODUCCION

1. CONCEPTOS BASICOS EN LA TEORIA DE CONJUNTOS

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos.
Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:
1. Conjunto: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada.
Los objetos que forman al conjunto sonnombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto.
Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto. Esta afirmación será demostrada más adelante.

2. Relación de Pertenencia: El ser elemento de es unarelación binaria o de dos argumentos entre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.
Esta relación va de un objeto a otro, donde el segundo objeto es necesariamente un conjunto y el primero puede ser o no un conjunto.
 
Colecciones: Clases y Conjuntos.
Como se mencionó anteriormente, una colección está determinada por una propiedad P formulada en un lenguaje preciso. Una clase es una colección,cuyos objetos son los objetos de la Teoría de Conjuntos que cumplen la propiedad P que caracteriza a la colección.

Las colecciones llamadas clases, son colecciones de objetos de la Teoría de Conjuntos, y pueden ser o no conjuntos en el siguiente sentido:Todo conjunto es una clase, pero no toda clase es un conjunto.
Proposición.
La clase de todos los objetos x tales que cumplen la propiedad "x nopertenece a x", no es un conjunto.
Prueba.
Supongamos que dicha clase sí fuera un conjunto y llamémosle R. Entonces:
1. Si R no pertenece a R, R cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R pertenece a R.
2. Si R pertenece a R, entonces R no cumple la propiedad que caracteriza a la clase y tenemos que R no pertenece a R.
Así pues, hemos mostrado que: si R no pertenecea R, entonces R pertenece a R; y si R pertenece a R, entonces R no pertenece a R. Pero comoR pertenece a R o R no pertenece a R, entonces necesariamente se cumple que R pertenece a R y que R no pertenece a R, lo cual es absurdo.

En conclusión, no es posible que dicha clase sea un conjunto.
 
Si una clase no es un conjunto le llamaremos clase no conjunto o clase propia, y no es un objeto deestudio de la Teoría de Conjuntos. Por lo anterior, la clase de todos los objetos x tales que x no pertenece a x, es una clase propia. Y se le conoce a dicha proposición como la Paradoja de Russell.

El Conjunto Universo Local.
En la Teoría de Conjuntos, se tiene como referencia, explícita o implícitamente, un universo local; es decir, un marco de referencia dentro del cual se trabaja.
Esteuniverso local o del discurso debe de ser un conjunto, quedando muy claro este concepto, ya que no se le debe confundir con la colección de todos los conjuntos, que es una colección que no es un conjunto, sino una clase propia; por lo tanto, aunque no existe el conjunto de todos los conjuntos, si existirá en casi cada caso particular, un conjunto que tenga a todos los conjuntos de interés deldiscurso.
• Axioma de Separación o de Comprehensión.
Si A es un conjunto cualquiera y P es una propiedad acerca de conjuntos, la colección de elementos de A que tienen la propiedad P, es un conjunto.

Más precisamente, para toda propiedad P formulada en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos lo siguiente es cierto:

Para todo conjunto A, existe un conjunto B cuyos elementos sonexactamente los elementos z de A tales que z cumple la propiedad P.

Teorema.
Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece.

Prueba.
Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y".

De lo anterior, por el axioma de separación, se sigue que D es un conjunto y que es subconjunto de A....