estadisticas

ufeffEcuaciones Normales
Consideremos el problema de aproximar la solución de un sistema  , donde A es una matriz de mxn con  , y el rango, rank(A) = n, aquí b es un vector de mx1 y el vector x a ser determinado lo es de nx1.
El signo  usaremos para indicar la aproximación en el sentido de cuadrados mínimos, esto es, se minimiza la norma del residual r = Ax - b, en otras palabras, hemos deminimizar el residual

En forma equivalente, si consideramos la función cuadrática

la cual es una función diferenciable en x. Una condición necesaria para el mínimo de F(x) es que el vector gradiente sea cero, es decir:

Lo que nos conduce a un sistema de ecuacnines llamadas ecuaciones normales, las cuales son escritas:

La solución al sistema  es usualmente calculada por el siguientealgoritmo:
La matriz  es simétrica y es definida positiva y entonces podemos emplear la factorización de Cholesky para primero resover   y finalmente calcular x en la forma  .
Ejercicio
1. Modifique la rutina que genera la matriz de vandermonde, de manera que acepte vectores de dimensión n y segeneren m columnas. 
2. Resuelva para la función de Runge con 8, 10, 13 datos el polinomio de grado 3, 4 y 8que mejor ajuste a los datos, use la descomposición de Cholesky para resolver las ecuaciones normales. 
3. Grafique los polinomios de ajuste sobre la misma gráfica y compare. 
 


Matriz

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en elcampo de la física.
Matrices
Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma
 
a11
a12
...
a1n
 

a21
a22
...
a2n


...
...
...
...


am1
am2
...
a mn

La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con mfilas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n.
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...
Ejemplo:
La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3:
 
1
-3
4
 


0
5
-2

 
donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas
 
1
 
,
 
-3
 
y
 
4
 


0



5



-2Clases de matrices
Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
A =
 
1
2
-3
 


4
0
5



3
-1
2

 
B =
 
2
-3
 


-1
5

Entonces, A y Bson matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (a×) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matrizidentidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I · A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, sitodas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de
A =
 ...