Estadisticas



Estadística Aplicada


Tarea #2
Fecha: 30 de abril de 2014


Integrantes:
Valeria Aluanlli
Josefa Lyon
Xavier Ortega
Daniela Roa
Danae Salbach

Objetivos
1. Mostrar que la media muestral de una muestra de tamaño n tomada de cualquier variable aleatoria X tiene distribución aproximadamente Normal si n es suficientemente grande.
2. Mostrar que la proporción muestral deelementos que poseen cierta característica de interés,, tiene distribución aproximadamente Normal si el tamaño de muestra n es suficientemente grande.
3. Mostrar que el estadístico , donde es la varianza de una muestra de tamaño n tomada de una población normal con varianza , tiene distribución chi-cuadrado con (n-1) grados de libertad.

Desarrollo
Pregunta 1
a) Simule 200 muestras de tamaño n=150de una variable aleatoria . Usted decide el valor de .

Para estas muestras, tomamos =100. Mediante la función “ALEATORIO()” de Microsoft Excel, la cual genera un número aleatorio entre 0 y 1, se pudieron generar 150 números multiplicando el valor obtenido por 100. Se repitió este proceso para generar 200 muestras. Al ser 30.000 datos, no se los adjunta en el presente informe, pero sí en elarchivo Excel que lo acompaña.

b) Muestre en un histograma los datos de una cualquiera de las muestras. Comente.


En el presente histograma se puede apreciar como las frecuencias son aproximadamente iguales si se toman intervalos de tamaño similar. Esto se debe a que en la distribución uniforme, cualquier valor entre 0 y 100 tiene igual probabilidad de aparecer. Por ello, la frecuencia enrangos de tamaño similar será aproximadamente igual.


c) Calcule el valor de para cada una de las 200 muestras. Calcule la media y la desviación estándar de . Teóricamente, ¿cuánto deberían ser estos valores? ¿Se parecen ellos a los valores que usted calculó?

Debido a la gran cantidad de muestras, este informe no presenta para cada una de ellas, pero aparece con el archivo Excelcomplementario. A continuación se presenta la media y la desviación estándar de :

Media
50.1
Desviación Estándar
2.46238

Los valores teóricos se presentan a continuación. Usando el teorema visto en clases, podemos calcular que:




Se puede apreciar que los valores reales y los valores teóricos son bastante similares, con lo que se puede afirmar que efectivamente siguieron una distribución normal.d) Construya un histograma para los valores de . Comente.



En el histograma presentado se puede apreciar cómo sigue una distribución que es aproximadamente Normal, con media aproximadamente 50, que es el valor teórico calculado previamente. Esto reafirma la hipótesis planteada de que cuando n es muy grande la media muestral sigue una distribución aproximadamente Normal.



e)Repita (a), (b), (c) y (d) para una variable aleatoria . Usted debe decidir el valor de .

(a) Para estas muestras, tomamos =0,1. Tras un poco de investigación, descubrimos que se pueden generar números aleatorios “x” con una cierta función de distribución acumulada F(x) usando el método de la transformada inversa.1 Para usar este método, se toman los siguientes pasos:

- Se genera un númeroaleatorio “u” con distribución Uniforme (0,1), usando la función “ALEATORIO()” de Excel.
- Se calcula x=F-1(u).

Se sabe que las funciones de distribución y de distribución acumulada, f(x) y F(x) respectivamente, de la distribución Exponencial (), con =0,1 son:


Con esto, se calcula F-1(u), donde u=ALEATORIO() en Excel.


donde ln(1-u) es el logaritmo natural de (1-u).
Usando esto, segeneraron 200 muestras, cada una con n=150 números aleatorios, las cuales no se muestran en el presente informe por cuestiones de espacio, pero estarán adjuntas en el archivo Excel.







(b) A continuación se muestra el histograma de la Muestra 1:


Como era de esperarse, los datos de la muestra siguen una distribución que es aproximadamente exponencial.
(c) Debido a la gran...