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DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD

La distribución normal de probabilidad se le conoce como distribución de Gauss o Campana de Gauss. Es una distribución de datos continuos no discretos que forman una curva simétrica en forma de campana y está determinado por la media y la desviación estándar.

CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL

1.  Forma:

* Es una campana simétrica conrespecto a su centro (respecto a la media).
* La curva tiene un solo pico y se presenta en forma de campana; por tanto, es unimodal.
* La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal.
* Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, para unacurva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
* Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal

2.  Parámetros

    Está caracterizada por dos parámetros

   a).- Parámetro de localización: La media

   b).- Parámetro de forma: La varianza

3.  Función de densidad
      

CURVA DE LADISTRIBUCIÓN NORMAL

* El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
* Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
* En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
* El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
* El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
* Al ser simétrica respecto aleje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Para determinar las áreas bajo la curva de función de densidad normal  se requiere integrar la  ecuación  dedensidad explicada con anterioridad,  desafortunadamente  no  existe  una solución exacta para la integral, por lo que  su  evaluación  solamente  puede obtenerse utilizando métodos de aproximación. Por esta razón, se aprovechó  la propiedad de transformación de cualquier curva normal  a  la  NORMAL ESTANDAR utilizando una nueva variable aleatoria Z  llamada  variable  aleatoria  normal estándar.DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla se utilizará la tabla del Anexo 1.

TIPIFICACIÓN DE LA VARIABLE

Parapoder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Donde:

X =  valor de la variable aleatoria que nos preocupa
Media de la distribución de la variable aleatoria
= desviación estándar de la distribución
 Z = número de desviaciones estándar que hay desde X a la media de la distribuciónEjemplos:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre:

a) 0 y 1.32

b ) -2.03 y +2.03
| Como la curva es simétrica 
P( -2.03 < z < 0 ) = P( 0 < z < +2.03) 
Se busca en la tabla el área correspondiente a z = 2.03 P = 0.47882Por lo tanto : P(- 2.03 < z < + 2.03) = 0.47882 + 0.47882 = 0.95764 |
EJERCICIO: DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Un programa decapacitación diseñado para mejorar las habilidades de los supervisores de la línea de producción es un programa autoaplicable y por ello los supervisores requieren diferente número de horas para terminarlo. Un estudio de participantes anteriores revela que el tiempo medio dedicado al programa es de 500 horas y que esta variable aleatoria distribuida normalmente tiene una desviación estándar de 100 horas....