estado de ganancias y perdidas




















































































Ejercicios Resueltos

1. Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5 = 0

Calculemos el DISCRIMINANTE:
 = b2 – 4ac
 = (6)2 – 4(1)(5)
 = 16, es decir  > 0
Por la fórmula General:

De donde: es decir C.S. = {-1; -5}¡raíces reales y diferentes!.
2. Ejemplo: En la ecuación x2 – 14x + 49 = 0

Calculamos el DISCRIMINANTE:
 = b2 – 4ac
 = (-14)2 – 4(1)(49)
 = 196 – 196
 = 0, entonces las raíces son reales e iguales.

Comprobemos:
La ecuación dada también se escribe así:
(x - 7)2 = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0
Igualando cada factor a CERO:
x – 7 = 0  x1 = 7
x – 7 = 0  x2 = 7
entonces: C.S. = {7; 7}3. Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25 = 0

Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25
El DISCRIMINANTE es:  = b2 – 4ac
 = (-6)2 – 4(1)(25)
 = -64, es decir  < 0
Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS.

4. Ejemplo: Indicar la suma y producto de raíces de: x2 + 5x + 3 = 0

Solución:
Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3
Entonces:




5.Ejemplo: Formar la ecuación de segundo grado si se tienen las raíces x1 = 2; x2 = -3.

Solución:
Sabemos:
S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1
P = x1x2 = (2)(-3) = -6
entonces de la ecuación:
x2 – Sx + P = 0
x2 – (-1)x + (-6) = 0
x2 + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado

6. Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación e indicar que tipo de raíces tiene: x2 – 100 = 0

Solución:

(x + 10) (x - 10) = 0x = -10 x = 10







1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0
b) x2 + x + 1 = 0
c) 5x2 + 2x + 3 = 0
d) 7x2 + 2x – 1 = 0
e) 3x2 – 2x + 5 = 0
f) x2 + 8x + 9 = 0

2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 2x + 1 = 0

Rpta.: _______________

b) x2 + 1 = 0

Rpta.: _______________c) x2 + 5x + 2 = 0

Rpta.: _______________

d) x2 – 1 = 0

Rpta.: _______________

e) x2 – x + 1 = 0

Rpta.: _______________

f) 5x2 + 3x + 1 = 0

Rpta.: _______________


g) 7x2 + 4x – 2 = 0

Rpta.: _______________

h) 2x2 + 3x – 3 = 0

Rpta.: _______________

3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
x2 + 5x + 1 = 0
Indicar el valor de:
E = (x1 + x2)2 – 2x1x2a) 20 b) 21 c) 23
d) 24 e) 25

4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.
(m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0

a) 25 b) 25/9 c) 9/25
d) 1/4 e) N.A.

5. Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0
con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”.
Si: 3(x1x2)k-4 = 1
a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2
d) 4 e) 9
6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales?(Raíz doble)
a) ±1 b) ±2 c) ±3
d) ±4 e) N.A.
7. Si una de las raíces de la ecuación:
x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es:
a) -2 b) -1 c) -3
d) -4 e) N.A.
8. Si la ecuación:

(b + 5)x2 + 3bx + b = 0
presenta raíces iguales. Hallar: “b”
a) 0 b) -2 c) 4
d) 8 e) 6


1. Si la ecuación:
x2 + 3x + 6k – 1 = 0
no tiene solución real, entonces se cumple:
a)b) c)
d) e) N.A.
2. Indique los valores de k si en la ecuación:
x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces.
a) 1 ; 2 b) -2 ; 1/2 c) 2 ; -1
d) -1/2 ; 1 e) -2 ; -1
3. Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2.
a) x1 = 3 ; x2 = 1
Rpta.: _______________


b) x1 = 5 ; x2 = -2

Rpta.: _______________

c) x1 = -3 ; x2 = -4Rpta.: _______________

d) x1 = -2 ; x2 = 2

Rpta.: _______________

e) ;

Rpta.: _______________


f) ;

Rpta.: _______________

4. Sean las ecuaciones equivalentes:
x2 + ax + 15 = 0 ……….. (I)
3x2 + 2x + b = 0 ……….. (II)
Indicar: “a . b”

a) 45/3 b) 30 c) 35
d) 2/3 e) 25/3


5. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:
2ax2 – (8b - 3)x + 18 = 0
x2 + (b + 5)x + 6 = 0...