Estados absorventes

ESTADOS ABSORBENTES

Para describir procesos o sistemas que cesan (o por lo menos vuelven a comenzar) después de alcanzar determinadas condiciones se utiliza un caso especial de cadenas de Markov. Por ejemplo, después de hallar un número predeterminado de partes aceptables o defectuosas, se suspende una inspección secuencial; después de x horas de funcionamiento, se detiene una máquina pararepararla o reemplazarla, etc. Tales procesos pueden modelarse como una cadena de Markov absorbente. A continuación se define una cadena de Markov absorbente:
1.- Un estado absorbente es aquel que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, o sea que, una vez comenzado es imposible dejarlo, y el proceso o se detiene completamente o se detiene para luego comenzar a partir de algún otroestado.
2.- Una cadena de Markov es absorbente si: 1) tiene por lo menos un estado absorbente y 2) es posible ir desde cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esa transición en un paso; ni es necesario tener la posibilidad de alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente.
Se señala que el estado k se llama estadoabsorbente si P_kk=1, de manera que una vez que la cadena llega al estado k permaneces ahí para siempre. Si k es un estado absorbente, la probabilidad de la primera pasada de i a k se llama probabilidad de absorción al estado k, cuando se comenzó en i.
Si se tienen dos o más estados absorbentes en una cadena y es evidente que el proceso será absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrarestas probabilidades de absorción.
Dichas probabilidades pueden obtenerse con sólo resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Supóngase que la cadena de Markov es tal que eventualmente se alcanzará uno de los estados absorbente. Si el estado k es un estado absorbente, entonces el conjunto de probabilidades de absorción f_ik satisface el siguiente sistema de ecuaciones
f_ik= ∑_(j=0)^M▒〖P_ijf_jk,〗 Para i = 0,1,……,M
Sujeta a las condiciones
f_kk=1
f_ik=0, Si el estado i es recurrente e i ≠ k.
Este caso queda mejor ilustrado por medio de un problema sencillo.
EJEMPLO 1
Considérese una tienda de departamentos que clasifica el saldo de la cuenta de un cliente como pagada (estado 0), 1-30 días de retraso (estado 1), 31-60 días de retraso (estado2) o mala deuda (estado 3). Las cuentas se revisan cada mes y se determina el estado de cada cliente. En general los créditos no se extienden y se espera que los clientes paguen sus cuentas dentro de 30 días. En ocasiones, los clientes pagan solo una parte de su cuenta. Si esto ocurre cuando el saldo queda dentro de los 30 días de retraso (estado 1), la tienda ve a este cliente como uno quepertenece en el estado 1. Si esto ocurre cuando el saldo esta entre 31 y 60 días de retraso, la tienda considera que el cliente se mueve al estado 1 (1-30 días de retraso). Los clientes que tienen más de 60 días de retraso se clasifican en la categoría de mala deuda (estado 3); luego, las cuentas se mandan a una agencia de cobro. Después de examinar los datos de años pasados, la tienda ahadesarrollado la siguiente matriz de transición:

0: Cuenta Pagada 1: 1-30 días de retraso 2: 31-60 días de retraso 3: Mala deuda
0: Cuenta Pagada 1 0 0 0
1: 1-30 días de retraso 0.7 0.2 0.1 0
2: 31-60 días de retraso 0.5 0.1 0.2 0.2
3: Mala deuda 0 0 0 1

Aunque cada cliente acaba por llegar al estado 0 o al estado 3 la tienda se interesa en determinar la probabilidad de que un cliente llegue a seruna mala deuda dado que la cuenta pertenece al estado 1-30 días de retraso, y de igual forma, dado que la cuentas está en 31-60 días de retraso.

Con el fin de obtener esta información, debe resolverse el conjunto de ecuaciones que se presentaron al principio de esta sección. En particular, se obtienen f_13 y f_23. Las siguientes dos ecuaciones se obtienen por sustitución:
f_13=P_10...