Estadística Descriptiva II
Medidas de Tendencia Central
La Media
La media (o promedio) de una muestra x1, x2,…, xn de tamaño n de una variable o
característica x, se define como la suma de todos los valores observados en la
1n
muestra, dividida por el número total de observaciones n, es decir, X = å X i . Por
n i =1
ejemplo si los datos son x1 = 1, x2 =2, x3=3,entonces la media es 1/3(1+2+3)=2.
La Mediana
Dado un conjunto de n observaciones x1, x2,…, xn, de la variable o característica x, se
define la mediana de este conjunto de valores, como aquel valor que no es superado
ni supera a más de la mitad de las n observaciones, arregladas en orden de magnitud
creciente o decreciente.
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Cálculo de laMediana:
Ordenar los datos en orden de magnitud creciente X (1) , X ( 2) ,..., X ( n ) , entonces la
mediana esta definida mediante la siguiente fórmula:
si n es impar
ì X ( n +1) / 2
ï
ï
Me = í
ï X ( n / 2) + X ( n / 2+1)
si n es par
ï
î
2
En el ejemplo previo, la mediana Me=2.
Nota: En general, la mediana no se ve afectada por valores muy grandes o por
valores muy pequeños en losdatos en comparación a la media. Por ejemplo, si
x3= 40, la media es 1/3(1+2+40)=14.33, sin embargo la mediana es Me=2.
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La Moda
La moda de una muestra x1, x2,…, xn, es aquel valor de la variable que se presenta
con mayor frecuencia; es decir es el valor que más se repite, y se denota por Mo.
Los Percentiles
Los percentiles son valoresque dividen a la muestra ordenada en forma ascendente
(o descendente) en 100 partes iguales, y se denotan por Pi , i = 1,2,...,99.
Cálculo de los Percentiles:
1. Se ordena los datos en forma ascendente (o descendente) X (1) , X ( 2) ,..., X ( n ) (ó
X ( n ) , X ( n −1) ,..., X (1) ).
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2. Se determina el percentil de acuerdo a losiguiente:
* Si
i (n + 1)
es un entero, entonces Pi = X æ i ( n +1) ö
ç
÷
100
100
è
* Si
ø
i (n + 1)
es fraccionario, hacemos una interpolación lineal entre los dos
100
valores correspondientes a las dos observaciones entre las cuales se encuentra
la fracción.
Observación:
Para el caso en que i = 25,50,75, se denominan cuartiles, y cuando i = 10,20,...,90 ,
se denominandeciles.
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Medidas de Dispersión
La Varianza
La varianza de una muestra x1, x2,…, xn de una variable o característica x, se define
como la media del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto al
promedio de esos datos. La varianza muestral entonces queda definida como:
(
)
2 = 1 æ n X − X 2ö
çå
÷
S
ç
÷i
n −1 i = 1
è
ø
Por ejemplo la varianza de x1=1,x2=2,xn=3, es 1/2[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=1.
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Un posible inconveniente para la interpretación de la varianza es que, por el efecto
del cuadrado en la definición, no está expresada en las mismas unidades que los
datos, sino en su cuadrado (por ejemplo, si los datos se toman en metros, lavarianza
se expresará en metros cuadrados). Como una manera de eliminar este
inconveniente, se define la desviación estándar.
Desviación Estándar
La desviación estándar se define por la raíz cuadrada positiva de la varianza.
S=
(
)
ö
1æn
ç å X − X 2÷
÷
n − 1çi = 1 i
è
ø
La desviación estándar de x1=1,x2=2,xn=3, es
σ=
1æ
2
2
2
ç (1− 2) + (2 − 2) + (3 − 2) ö = 1 = 1 .÷
ø
3 −1 è
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Rango
El rango se calcula como la diferencia entre el máximo valor y el mínimo valor
presentes en el conjunto de datos: R = X máx − X mín .
Rango Intercuartil
El rango intercuartil es la longitud del intervalo donde está contenido el 50%
central de los datos: RI = Q3 − Q1 o RI = P75 − P25 .
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