Estadística

Estimación de la función de supervivencia (método de Kaplan-Meier).
Es un método no paramétrico (no asume ninguna función de probabilidad) y por máxima verosimilitud, es decir se basa en maximizarla función de verosimilitud de la muestra. Una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una población, estará formada por k (k £ n) tiempos t1 < t2< …< tk en los que se observan eventos. Encada tiempo ti existen ni "individuos en riesgo" (elementos de la muestra para los que el evento puede ocurrir, o que T ³ ti) y se observan di eventos. Además en el intervalo [ti, ti+1) seproducen mi pérdidas.
Se puede demostrar que la función de verosimilitud para toda la muestra es:

Para construir esta función se ha asumido que la información contenida en las pérdidas es que, para cada una deellas, el evento ocurre en un tiempo mayor que el tiempo en que se observa la pérdida. Maximizando esta función se encuentra que el estimador de la función de riesgo es

y para la función desupervivencia, el denominado estimador producto límite o de Kaplan-Meier:
 
Ejemplo 1
Se sigue en el tiempo a 12 individuos con una prótesis cardíaca y se encuentran los siguientes tiempos desupervivencia en años: 6*, 6, 6, 6, 10, 12*, 12, 15, 15*, 17, 22, 22, donde el asterisco indica pérdida; es decir se perdieron 3 individuos en los tiempos 6, 12 y 15. La manera más cómoda de calcular losestimadores anteriores es disponer los datos en una tabla como la que sigue:
tiempo | ind. en riesgo | eventos | F. riesgo | F. supervivencia |
6 | 12 | 3 | 3/12=0,25 | 1 |
10 | 8 | 1 | 1/8=0,125 |0,750 |
12 | 7 | 1 | 1/7=0,143 | 0,656 |
15 | 5 | 1 | 1/5=0,2 | 0,562 |
17 | 3 | 1 | 1/3=0,333 | 0,450 |
22 | 2 | 2 | 2/2=1 | 0,300 |
Para analizar estos datos con un paquete estadístico, porejemplo el SPSS, hay que introducir dos variables: el tiempo y el “status” con un código que indique si en ese tiempo se ha producido el evento o es una pérdida. La “salida” es:
Survival Analysis...