Estadística

Tema 19: Combinatoria
Combinatoria
Introducción
Principios básicos de recuento
Conceptos básicos
Muestras ordenadas: Variaciones. Permutaciones.
 Sin repetición
 Con repetición

Muestras no ordenadas: Combinaciones. Números combinatorios


Sin repetición
Con repetición


Binomio de Newton

Introducción
“Es importante aprender métodos y técnicas de investigación, pero sincaer en un fetichismo metodológico. Un método no es una receta mágica.
Más bien es como una caja de herramientas, en la que se toma la que
sirve para cada caso y para cada momento”
Ander-Egg

La combinatoria es el arte de contar. Mediante la combinatoria podemos
calcular cardinales de conjuntos y enumerar sus elementos que satisfacen
determinados criterios de formación.
La combinatoriasurge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal
(1623-1662) y de Pierre Fermat (1601-1665) sobre la teoría de juegos de
azar. Mientras Pascal se encontraba trabajando en sus Cónicas en 1654,
su amigo el caballero de Meré, gran aficionado al juego, le planteó algunas
cuestiones como la siguiente: «En ocho lanzamientos sucesivos de un
dado intenta un jugador obtener un uno, pero el juegose interrumpe
después de tres intentos fallidos. ¿En qué proporción ha de ser
compensado el jugador?». Pascal escribió a Fermat sobre este problema y
la correspondencia intercambiada contenía los principios para determinar
el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y
constituyó el punto de partida de la moderna teoría de las probabilidades.
Aunque ni Pascal ni Fermatexpusieron sus resultados por escrito,
Huygens publicó en 1657 un breve tratado titulado «Sobre los
razonamientos relativos a los juegos de dados» inspirado en la
correspondencia de estos dos matemáticos franceses. Mientras tanto ,
Pascal había relacionado el estudio de las probabilidades con el triángulo
aritmético de Cardano, al que desde entonces ha pasado a llamarse
triángulo de Pascal y quetiene gran utilidad en el cálculo de los

coeficientes de los términos del desarrollo de la potencia de un binomio.
El término «combinatoria» tal y como lo usamos actualmente, fue
introducido por Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) en
su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la
consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (El arte
deconjeturar) de Jakob Bernoulli (1654-1705); este trabajo estaba
dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue
necesario introducir un buen número de nociones de combinatoria pues se
usaron de manera abundante en las aplicaciones del cálculo de
probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli
se inicia el establecimiento de la combinatoria comouna nueva e
independiente rama de las matemáticas.
Es una rama de utilidad en diversas especialidades, tales como la biología,
la física, la química y la propia matemática, en el desarrollo de la
geometría combinatoria, los grafos, programación lineal y, por supuesto,
como ya se ha dicho, en la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones
prácticas.
En este tema vamos a exponer las reglasgenerales de la combinatoria,
los principios aditivos y multiplicativos, las variaciones, permutaciones y
combinaciones con y sin repetición. Los definiremos dando las
características que permitirán reconocer su aplicación en el trabajo
práctico, y los teoremas que permitirán su resolución.

1. Principios básicos de recuento
Las técnicas de recuento son las que permiten averiguar el númerode
agrupamientos que se puede realizar con los elementos de conjuntos
cuando se ordenan según determinados criterios. Se trata de técnicas que
derivarán en los procedimientos y estrategias de la combinatoria actual.
Los principios básicos del recuento nos permitirán descomponer los
problemas en partes.

Definición Se denomina cardinal de un conjunto A al número de
elementos de dicho...