ESTATICA EJES GIR Y PRI

Lambayeque, octubre del 2015
PROFESOR:
ING. JANNYNA B. BERNILLA GONZALES
INTEGRANTES:
CAMPOS ESTELA CESAR ÁRINTHON 145123G
DELGADO GONZALES GUSTAVO ALEJANDRO 140456h
DIAZ VISLAO ANTONY …….
HUAMÁN CIEZA JOSUÉ 145127B
INOÑAN RAMÍREZ ALEXANDER 148004I5367027753355942457775335UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
INGENIERÍA CIVIL
ESTÁTICA – EJES GIRADOS Y EJES PRINCIPALES EN MOMENTOS DE INERCIA
A. Momentos de inercia para un área respecto a ejes inclinados
Considere un área A, un sistema coordenado xy y un segundo sistema coordenado x’y’ que está girado un ángulo θ con respecto al sistema coordenadoxy [figura (a) ]. Suponga que se conocen los momentos de inercia de A en términos del sistema coordenado xy. El objetivo consiste en determinar los momentos de inercia en términos del sistema coordenado x’y’.
En términos de la distancia radial r a un elemento diferencial de área dA y al ángulo de la figura b), las coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son:
x=rcosα … (1)y=rsenα… (2)
Las coordenadas de dA en el sistema coordenado x’y’ son
x'=r cosα-θ=r(cosα.cosθ+senα.senθ)… (3)

y'=r senα-θ=r(senα.cosθ+cosα.senθ)… (4)
396240265430

En las ecuaciones (3 y (4) se usan identidades trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos (apéndice A). sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en las ecuaciones (3) y (4), se obtienen otras ecuacionesque relacionan las coordenadas de dA en los dos sistemas coordenados:
x'=x cos θ+y sen θ… (5)
y'=-x cos θ+y cos θ… (6)
Estas expresiones pueden emplearse para derivar relaciones entre los momentos de inercia de A en términos de los sistemas coordenadas xy y x’y’
Momento de inercia con respecto al Eje X’
Ix'=A y'2dA=A –x sen θ+y cos θ2dA =cos2θA y2dA-2 sen θ cos θA xydA+sen2θA x2dA. Deesta ecuación se obtiene
Ix'=Ixcos2θ-2Ixysen θcosθ+Iysen2θ … (7)
Momento de inercia con respecto al Eje Y’
Iy'=A x'2dA=A x cos θ+y sen θ2dA =sen2θA y2dA-2 sen θ cos θA xydA+cos2θA x2dA. Esta ecuación proporciona el resultado
Iy'=Ix sen2θ+2Ixy sen θcosθA xydA+cos2θ A x2dA.Esta ecuación proporciona el resultado
Iy'=Ix sen2θ+2Ixy sen θcosθ+Iy cos2θ … (8)B.Momentos de inercia en ejes principal
Se ha visto que los momentos de inercia de A en términos del sistema coordenado x’y’ dependen del Angulo θ mostrado en la figura .Plantéese la siguiente pregunta ¿para qué valores el valor de inercia IX’, es máximo o mínimo?
Para contestar esta pregunta, resulta conveniente usar las identidades.
sen2θ=2senθ.cosθcos2θ=cos2θ-sen2θ=1-2sen2θ=2cos2Con lasidentidades anteriores se pueden escribir las ecuaciones 7 y 9 de la siguiente manera:
IX'=IX+IY2+IX-IY2cos2θ-IXYsen2θ………………….1IY'=IX+IY2-IX-IY2cos2θ+IXYsen2θ………………….2IX'Y'=IX-IY2sen2θ+IXYcos2θ…………………….3El valor de θ para el cual IX' es máximo o mínimo se denotara con θp, para determinar θp se evalúa la derivada de la ecuación (1), con respecto a 2θ a cero y obtenemos.tan2θp=2IXYIX-IY…………………….4Si la derivada de la ecuación (2) con respecto a 2 se iguala a cero para determinar un valor de cero para determinar un valor de θ para el cual Iy' es máximo o mínimo, se obtiene de nuevo la ecuación (4). Las segundas derivadas Ix' e Iy' con respecto a 2 son opuestas en signo, es decir:
d2IX'd(2θ)2=-d2Iy'd(2θ)2Lo que significa que para un ángulo θp para el cual Ix' es máximo, Iy' es un mínimo, y quepara un ángulo θp para el cual IX' es mínimo, Iy' es máximo.
Un sistema coordenado girado X'Y' orientado de manera que Ix' e Iy' tengan valores máximo o mínimo se denomina conjunto de ejes principales del área A.
Los correspondientes momentos de inercia Ix' e Iy' se llaman momentos de inercia principales. En la siguiente sección se demostrará que el producto de inercia IXY...