Estatica

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
FASCÍCULO 4. LÍMITES

Autores: Rosa Ma. Espejel Mendoza

COLEGIO DE
BACHILLERES
Colaboradores:

Asesoría Pedagógica
Rosa Maria Salgado Medina.
Revisión de Contenido
Patricia Balderas Cañas

Diseño Editorial

Í NDICE

PROPÓSITO

3

INTRODUCCIÓN

4

CUESTIONAMIENTO GUÍA

6

1 LIMITE DE UNA FUNCION F(X)CUANDO X TIENDE A UN
NUMERO REAL A
1.1 LIMITES POR LA DERECHA Y POR LA IZQUIERDA

10
10

1.2 LIMITE DE UNA FUNCION CUANDO LA VARIABLE
INDEPENDIENTE TIENDE A UN NÚMERO REAL

14

1.3 CASOS EN LOS QUE EL LÍMITE NO EXISTE.

22

1.4 CONTINUIDAD

26

2. TÉCNICAS ALGEBRÁICAS PARA CÁLCULAR LÍMITES 34
2.1 LÍMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES

34

2.2 LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

412.3 PROPIEDAD DE LOS LÍMITES

49

3.1 LOS LÍMITES Y EL INFINITO

58

3.1 FUNCIONES QUE CRECEN O DECRECEN SIN COTA 58
3.2 ASINTOTAS VERTICALES

61

3.3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO LA VARIABLE
INDEPENDIENTE TIENDE A INFINITO

62

3.4 ASINTOTAS HORIZONTALES

64

4 LÍMITES DE ALGUNAS FUNCIONES TRASCENDENTES 67

RECAPITULACIÓN

76

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

81AUTOEVALUACIÓN

83

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

85

2

PROPÓSITO

El concepto de límite es sumamente importante ya que por él se distingue el cálculo de
las matemáticas que has estudiado previamente.
En este fascículo estudiarás dos nociones muy importantes en el cálculo: la de límite y la
de continuidad. Aunque estos conceptos ya se han abordado brevemente en otros
fascículos, aquíharemos un análisis más detallado y sistemático de ellos, de manera
que desarrolles el concepto, lo comprendas y lo apliques para explorar el
comportamiento de las funciones.

3

INTRODUCCIÓN

La naturaleza se encuentra en un estado de cambio constante: la Tierra gira, se
desplaza por el universo, las placas de su corteza se mueven, las poblaciones de los
diversos organismos que lapueblan aumentan, disminuyen o desaparecen,... Por otra
parte la actividad del ser humano origina fenómenos que se caracterizan por ser
cambiantes: la generación de empleos, la construcción de viviendas, los resultados de
una inversión en el banco o en la bolsa varían con el tiempo.
La rama de la matemática que se ocupa del cambio, la rapidez del cambio y los
resultados del cambio presente endiversos fenómenos es el cálculo.
En los fenómenos de la naturaleza o de los diversos campos de la actividad humana
intervienen dos o más variables cuya relación, en numerosos casos, puede ser descrita
por medio de funciones.
Las funciones que describen los fenómenos naturales son, en la mayoría de los casos,
continuas, como es el caso de la velocidad de un objeto que se deja caer desde unedificio, mientras que las que explican los de otros campos, como la economía,
frecuentemente son funciones discontinuas.
Uno de los conceptos más importantes del cálculo, el de límite, nos ayuda a describir la
forma en que una función se comporta cuando la variable independiente se acerca, pero
no es igual a un cierto valor o cuando crece o decrece ilimitadamente. Por ejemplo, a
medida que elnúmero n de lados de un polígono regular aumenta, su área se aproxima
cada vez más al área del círculo circunscrito. Podemos obtener el área del círculo
encontrando el límite de la fórmula del área del polígono cuando el número n de lados
"tiende" a infinito.

4

El concepto de límite y el de continuidad están íntimamente relacionados. El concepto de
límite puede ayudarnos a precisar ladefinición de continuidad de una función, los
conocimientos acerca de la continuidad de funciones nos permiten calcular límites. Los
conceptos de límite y de continuidad nos ayudan a estudiar esos fenómenos en donde el
cambio está presente

5

CUESTIONAMIENTO GUÍA
Cuando una persona dispone de un capital puede invertirlo para obtener una ganancia.
Una opción es depositarlo en un banco el...