ESTATICA
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Publicado: 3 de septiembre de 2014
Estructuras III - Estática
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ESTRUCTURAS III
ESTATICA
Por el Ing. Carlos Verdi
Colaboración de la Ing. Cynthia Ricco
Resolver una estructura, significa poder definir en cada punto de la misma la resultante
izquierda o derecha, mediante los parámetros N, Q y M.
Para resolver estos problemas es necesario determinar el sistema de fuerzas reactivas
(R) que equilibran al sistema defuerzas activas (C), para lo cual contamos con las
ecuaciones de la Estática que nos aseguran el equilibrio absoluto y el relativo entre las
partes de la estructura.
Realizaremos a continuación un análisis de las formas en que es posible la determinación
del sistema reactivo R, sobre estructuras abiertas y de marcos cerrados.
Estructuras abiertas
Analicemos el siguiente ejemplo:
•Primer procedimiento: mediante la eliminación de vínculos externos
Eliminamos los vínculos externos, reemplazándolos por magnitudes estáticas que
generan.
1) ΣFx: x2 + x4 + 5 = 0
2) ΣFy: - x1 - x3 - 10 - 10 = 0
www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Estructuras III - Estática
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3) ΣMA: 12 x3 + x5 + 160 = 0
4) ΣMrDi: - 4x1 - 8x2 - 20 = 0
5) ΣFxrFi: x4 = 0
Lasecuaciones 1, 2 y 3 aseguran el equilibrio general de la estructura o sea que la
resultante de las fuerzas totales activas y reactivas es nula
Rr+Ra=0
A su vez las ecuaciones 4 y 5 aseguran el equilibrio relativo.
Con relación a las ecuaciones de equilibrio relativo también se podría haber planteado la
ecuación:
6) ΣMrDd:
8x3 - 8x4 + x5 + 60 = 0
Pero esta ecuación no es linealmenteindependiente de las anteriores sino que se puede
encontrar una relación funcional del tipo:
(6)= α1 (1) + α2 (2) + α3 (3) + α4 (4) + α5 (5)
En este caso se verifica:
α1 = -8
α2 = -4
α3 = 1
α4 = -1
α5 = 0
www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Estructuras III - Estática
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Esto demuestra que no es una ecuación independiente, y esto se puede ver si pensamos
que laecuación (5) exige que la fuerza resultante izquierda (RiD) debe pasar por el punto
D, y como además se cumplen las ecuaciones de las generales de la estática 1,2 y 3, la
fuerza resultante derecha (RdD) debe necesariamente pasar por dicho punto ya que por
razones de equilibrio la fuerza resultante de una parte debe ser igual y contraria a de la
otra parte. Por lo tanto es suficiente que se cumplauna de las dos ecuaciones (4) ó (6).
Lo mismo sucede con las ecuaciones de equilibrio relativo de fuerzas en el punto F,
donde podemos plantear la siguiente ecuación:
7) RFd = ΣFxrFd:
x2 + 5 = 0
(7) = α1 (1) + α2 (2) + α3 (3) + α4 (4) + α5 (5)
En este caso los valores de αi que determinan la dependencia valen:
α1 = -1
α2 = 0
α3 = 0
α4 = 0
α5 = -1
De igual manera como laecuación (5) exige que la resultante RdF tenga dirección normal
al desplazamiento posible del vínculo, en este caso vertical, y la resultante RiF deberá ser
igual y contraria o sea también vertical para que se cumpla:
dF + RiF = 0
En el caso que estamos analizando tenemos 7 ecuaciones de las cuales 5 son
linealmente independientes y 2 dependientes de las anteriores. Para resolver esteproblema podemos elegir un grupo de 5 entre las 7, por ejemplo:
1. (1),(2),(3),(4),(5)
2. (1),(2),(3),(4),
3. (1),(2),(3),
(7)
(5),(6)
www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm
Estructuras III - Estática
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4. (1),(2),(3),
5.
(6),(7)
(2),(3),(4),(5),
6. (1),(2),
(7)
(4),(5),(6)
Etc.
Si planteamos el sistema de ecuaciones matricialmente, por ejemplo el 1.
01
0
1
0
x1
5
0
1
0
1
0
0
x2
20
0
0
0
12
0
1 x
x3
-4
-8
0
0
0
x4
-20
0
0
0
0
1
0
x5
0
0
+
160
=
0
Simbólicamente se puede expresar como:
EX+C=0
Donde:
E: matriz equilibrio que depende de la estructura, del sistema de ecuaciones adoptado y
es independiente del...
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ESTRUCTURAS III
ESTATICA
Por el Ing. Carlos Verdi
Colaboración de la Ing. Cynthia Ricco
Resolver una estructura, significa poder definir en cada punto de la misma la resultante
izquierda o derecha, mediante los parámetros N, Q y M.
Para resolver estos problemas es necesario determinar el sistema de fuerzas reactivas
(R) que equilibran al sistema defuerzas activas (C), para lo cual contamos con las
ecuaciones de la Estática que nos aseguran el equilibrio absoluto y el relativo entre las
partes de la estructura.
Realizaremos a continuación un análisis de las formas en que es posible la determinación
del sistema reactivo R, sobre estructuras abiertas y de marcos cerrados.
Estructuras abiertas
Analicemos el siguiente ejemplo:
•Primer procedimiento: mediante la eliminación de vínculos externos
Eliminamos los vínculos externos, reemplazándolos por magnitudes estáticas que
generan.
1) ΣFx: x2 + x4 + 5 = 0
2) ΣFy: - x1 - x3 - 10 - 10 = 0
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3) ΣMA: 12 x3 + x5 + 160 = 0
4) ΣMrDi: - 4x1 - 8x2 - 20 = 0
5) ΣFxrFi: x4 = 0
Lasecuaciones 1, 2 y 3 aseguran el equilibrio general de la estructura o sea que la
resultante de las fuerzas totales activas y reactivas es nula
Rr+Ra=0
A su vez las ecuaciones 4 y 5 aseguran el equilibrio relativo.
Con relación a las ecuaciones de equilibrio relativo también se podría haber planteado la
ecuación:
6) ΣMrDd:
8x3 - 8x4 + x5 + 60 = 0
Pero esta ecuación no es linealmenteindependiente de las anteriores sino que se puede
encontrar una relación funcional del tipo:
(6)= α1 (1) + α2 (2) + α3 (3) + α4 (4) + α5 (5)
En este caso se verifica:
α1 = -8
α2 = -4
α3 = 1
α4 = -1
α5 = 0
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Estructuras III - Estática
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Esto demuestra que no es una ecuación independiente, y esto se puede ver si pensamos
que laecuación (5) exige que la fuerza resultante izquierda (RiD) debe pasar por el punto
D, y como además se cumplen las ecuaciones de las generales de la estática 1,2 y 3, la
fuerza resultante derecha (RdD) debe necesariamente pasar por dicho punto ya que por
razones de equilibrio la fuerza resultante de una parte debe ser igual y contraria a de la
otra parte. Por lo tanto es suficiente que se cumplauna de las dos ecuaciones (4) ó (6).
Lo mismo sucede con las ecuaciones de equilibrio relativo de fuerzas en el punto F,
donde podemos plantear la siguiente ecuación:
7) RFd = ΣFxrFd:
x2 + 5 = 0
(7) = α1 (1) + α2 (2) + α3 (3) + α4 (4) + α5 (5)
En este caso los valores de αi que determinan la dependencia valen:
α1 = -1
α2 = 0
α3 = 0
α4 = 0
α5 = -1
De igual manera como laecuación (5) exige que la resultante RdF tenga dirección normal
al desplazamiento posible del vínculo, en este caso vertical, y la resultante RiF deberá ser
igual y contraria o sea también vertical para que se cumpla:
dF + RiF = 0
En el caso que estamos analizando tenemos 7 ecuaciones de las cuales 5 son
linealmente independientes y 2 dependientes de las anteriores. Para resolver esteproblema podemos elegir un grupo de 5 entre las 7, por ejemplo:
1. (1),(2),(3),(4),(5)
2. (1),(2),(3),(4),
3. (1),(2),(3),
(7)
(5),(6)
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4. (1),(2),(3),
5.
(6),(7)
(2),(3),(4),(5),
6. (1),(2),
(7)
(4),(5),(6)
Etc.
Si planteamos el sistema de ecuaciones matricialmente, por ejemplo el 1.
01
0
1
0
x1
5
0
1
0
1
0
0
x2
20
0
0
0
12
0
1 x
x3
-4
-8
0
0
0
x4
-20
0
0
0
0
1
0
x5
0
0
+
160
=
0
Simbólicamente se puede expresar como:
EX+C=0
Donde:
E: matriz equilibrio que depende de la estructura, del sistema de ecuaciones adoptado y
es independiente del...
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