Estatica

1. Momento de Inercia o Momento estático de segundo orden
1.1 Definición
También llamado momento transverso de inercia, describe la forma en que el área está distribuida alrededor del centroide y está directamente relacionado a la resistencia a la flexión de una viga. El nombre momento de inercia de un área, se basa en el momento de inercia de una masa, el cual es la resistencia a la rotaciónde un cuerpo rígido y es estudiado por la dinámica.
El segundo momento de un área respecto a los ejes x e y está definido por:
Ixx= ʃ y2 dA Iyy= ʃ x2 dA
La dimensión para el segundo momento de un área es la longitud a la cuarta potencia, es por esto que sus unidades son pulg4, mm4, pie4 o m4. Además como se trata de una cantidad cuadrática, el segundo momento de un área siempre serápositivo, el mismo irá aumentando proporcionalmente con el aumento del cuadrado de la distancia desde el eje de referencia hasta el elemento de área.
Al estudiar los sólidos deformables encontramos que las fuerzas internas distribuidas en una viga en doblamiento puro (momentos iguales y opuestos sobre cada extremo de la viga) varían linealmente alrededor de un eje que pasa a través del centroide delárea de la sección transversal, es decir, un eje centroidal de la viga.
De allí determinamos que la fuerza sobre el elemento de área dA seria:
dF= kydA, siendo k una constante.
La fuerza total que actúa sobre la sección transversal de la viga está determinada por:
R = ʃ dF = ʃ kydA = kycA, la misma es igual a cero, pues la distancia desde el eje centroidal al centroide yc es cero. El momentototal de las fuerzas internas alrededor del eje centroidal es: M = ʃ ydF = ʃ ky2dA = k Ixx
Como vemos, el momento interno es proporcional al momento del área alrededor del eje centroidal.
1.2 Momento Polar de Inercia
El momento polar de inercia o segundo momento del área alrededor del eje z expresa la resistencia a la torsión de un eje de transmisión. El momento polar de inercia desde elpunto O está definido por:

Donde r es la distancia desde O hasta el elemento diferencial de área dA. El momento polar de inercia siempre será positivo y su dimensión es longitud a la cuarta potencia.
Podemos observar que r2= y2 + x2, por lo que podemos establecer una relación entre el momento polar de inercia y el segundo momento de un área, estableciendo que el momento polar de inercia de unárea respecto a un punto O es igual a la suma de los segundos momentos de las áreas respecto a dos ejes perpendiculares que se intersecan en O.

Por lo tanto, JO= Ixx + Iyy
1.3 Radio de giro
Podemos referirnos al radio de giro como la distancia desde el eje hasta un punto en el que se considera que está concentrada el área, el mismo es comúnmente utilizado para representar el segundo momentodel área alrededor de un eje. Los radios de giro de un área respecto al eje x, al eje y y al punto O están definidos por:



Aunque el radio de giro está definido como una distancia, su valor no puede ser determinado por medición directa, el mismo solo puede determinarse por cálculo utilizando lasiguiente ecuación:
1.4 Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner
Este teorema establece una relación entre el momento de inercia de un eje que pasa por el centro de masas de un cuerpo y el momento de inercia que tendría el mismo cuerpo si tomamos otro eje paralelo al primero.
Anteriormente definimos el momento de inercia de un cuerpo como I = ʃ y2 dA. Como vemos en la figura, aldibujar un eje BB’ que pasa por el centro de masas de un cuerpo y es paralelo al primer eje AA’, obtenemos una distancia desde dA hasta el centro de masas (y’) y otra desde el centro de masas hasta el eje AA’ (d). Podemos escribir la distancia desde dA hasta el eje AA’ como y= d + y’. Se establece entonces que:
I = ʃ y2 dA = ʃ (y’ + d)2 dA = ʃ y’2 dA + 2d ʃ y’ dA + d2 ʃ dA
La primera...