estatica

5.1. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo.
Centro de gravedad (C.D.G.)
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas másicas distribuidas que la Tierra ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.
El punto G del cuerpo en el que actúa el peso es el C.D.G. del cuerpo.
El módulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado delcuerpo depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro de la Tierra. En la práctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan la misma aceleración gravitatoria g. Además, debido al tamaño de la Tierra, las rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas.Estas dos hipótesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:
Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el cálculo del CDM tendremos:




Donde:

Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su C.D.G. podrá determinarse considerando que el cuerpo está constituido por infinitoselementos cada uno de los cuales tenga un peso dW dado así:

donde γ es el peso específico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo será:



Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un elemento será:


y según la definición de CDG:
asípues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W será:

y análogamente

Centro de masa (C.D.M.)
Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo físico en donde podría concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento respecto a dicho eje o plano de la masadistribuida.
Si consideramos un sistema de n puntos materiales, las distancias a los planos de coordenadas del C.D.M. G del sistema de puntos materiales son:





Donde:

Las ecuaciones anteriores pueden condensarse en una ecuación vectorial única así:


de donde



ya que el vector de posición del punto i-ésimo respecto al origen es


y el vector de posición del CDM respecto al origen esSi los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.


Donde



Vectorialmente:




donde r es el vector de posición del elemento dm del cuerpo respecto al origen, ρ es la densidad del elemento y dV es su volumen5.1.1 Primer Momento de Lineas y Areas
Centroide
El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de garvedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos especificos.
VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos devolumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:
X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv
" dv " dv " dv
AREA. De manera semejante, el centroide para el area para el area superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el areaen elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aerea en torno a los ejes de coordenadas a saber.
X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA
" dvA " dA " dA
LINEA. Si la geomentria del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una linea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:
X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL
" dL " dL " dL
NOTA: En todos los...