Estatitca

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Part I

Funciones Vectoriales de una variable real

(ejemplar de prueba)
Introducción
!
La recta de R3 que pasa por el punto P o = (x0 ; y0 ; z0 ) y es paralela
o
n!
a
a un vector ! = (a1; a2; a3 ) se de…ne comoel conjunto P 0 + t! j t 2 R :En
a
!
esta de…nición de recta a cada número real t corresponde el punto P + t! de
a
0

R3 ; es decir a cada valor t de R le asocia el punto (x0 + ta1; y0 + ta2; z0 + ta3 )
de R3 :Tal correspondencia o asociación genera lo que llamaremos una función
vectorial de una variable real que en este caso es de R en R3 . Si denotamos
!
por f a tal función entonces suregla de correspondencia es
!
f (t) = (x0 + ta1; y0 + ta2; z0 + ta3 )
!
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango
!
!
de f es la recta que pasa por el punto P o y es paralela al vector !. Este
a
es un ejemplo del tipo de funciones que estudiaremos en este módulo; para
tales funciones consideraremos los conceptos de límite, continuidad, derivada e
integral.Desde el punto de vista conceptual no hallaremos ideas nuevas y en la
mayor parte de los casos las técnicas usadas son las mismas desarrolladas en el
cálculo de funciones real de una variable real.

1

Funciones Vectoriales

1.1

De…nición.-

Una función vectorial de una variable real es una función cuyo dominio es un
conjunto de números reales y el rango es un conjunto de vectores opuntos de
Rn
1

!
!
Notación f : D R ! Rn tal que 8 t 2 D, f (t) = (f1 (t); f2 (t); : : : ; fn (t));
donde fk : D R ! R para cada k = 1; 2; ::; n es una función real de variable
!
real. Cada fk es la k-esima
componente del vector f (t):
!
!
Si la función f describe el movimiento de una partícula, el vector f (t) =
(f1 (t); f2 (t); : : : ; fn (t)) señala la posición en el instante t,es decir en estos casos
t representa la variable tiempo.
Ejemplo 1
!
!
Sea f : I R ! R3 tal que f (t) = (cos t; sin t; t); I = [0; 2 ] Hacer
!
un esquema del rango de f
Solución:
!
Propongamos f (t) = (x(t); y (t); z (t)) donde x = cos t; y = sin t; z = t. En
este caso para cualquier valor de t se cumple x2 + y 2 = 1 que es la proyección
!
en el plano XY de cualquier punto f (t) de lacurva que está sobre el manto
2
de un cilindro de radio unitario x + y 2 = 1; y z = t señala la distancia de
!
f (t) al plano XY.
!
El rango de f es entonces una curva que partiendo de (1; 0; 0) describe
un arco completo de una helicoidal en el manto del cilindro x2 + y 2 = 1 de R3 :

z

y
x

Ejemplo 2
!
!
!
Sea
f : I R ! R3 tal que f (t) = (t; t; t); describa el rango de f :Solución:
!
Las imagenes f (t) = (t; t; t) las podemos escribir vectorialmente de la
!
forma f (t) = (0; 0; 0) + t(1; 1; 1) lo que nos permite reconocer que se trata de
una recta que pasa por el origen (0; 0; 0) en la dirección del vector ! = (1; 1; 1):
v
2

Ejemplo 3
!
!
Sea
f : I R ! R3 tal que f = (t; t; 2t2 ); I = [ 3; 3];describa el rango
!
de f:
Solución:
!
Ponemos f (t) =t(1; 1; 0)+ t2 (0; 0; 2); de esta expresión se puede a…rmar que
!
f (t) es la suma de un vector a lo largo de la recta y = x en el plano XY y un
!
vector perpendicular al plano XY. Quiere decir entonces que el rango de f se
encuentra en el plano que contiene los vectores (1; 1; 0); (0; 0; 2) perpendicular
al plano XY.
Si se considera en un punto (t; t; 0) en el plano XY y u distancia alorigen,
p
p
!
u = t2 + t2 = 2t, resulta que z = 2t2 = u2 . Por lo tanto, el rango de f es
una porción de la parábola z = u2 que esta en el plano y = x perpendicular al
plano XY y que contiene al eje z .

z

y
x

2

Límite de una función vectorial.

Previamente aclaremos o recordemos algunos conceptos en cuanto a la métrica
que usaremos
!
Si ! y b son una par de elementos...