Estdistica

Capítulo 8

Contrastes de Hipótesis
8.1. Introducción. Conceptos básicos

Una hipótesis estadística es una afirmación acerca de una característica poblacional formulada en base a los parámetros de su distribución. Existen diversos tipos de hipótesis: - Hacen referencia a un parámetro de una población. Por ejemplo, consideremos el rendimiento obtenido en un proceso químico,X, con distribuciónN (µ, σ), siendo µ desconocido. Podríamos plantear las siguientes hipótesis: µ = 90 µ = 90 6 µ > 90 µ < 90 Si la hipótesis asigna un único valor al parámetro se le llama hipótesis simple, en caso contrario, hipótesis compuesta. En este ejemplo, la primera es simple y el resto son compuestas. - Comparan parámetros de varias poblaciones. Por ejemplo, supongamos que queremos contrastar si el fumarprovoca cáncer. Esto equivale a contrastar si la proporción de fumadores con cáncer, p1 , es significativamente mayor que la proporción de no fumadores con cáncer, p2 . 119

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Capítulo 8. Contrastes de Hipótesis

Contrastar una hipótesis es comparar lo que dice la hipótesis con la información que nos proporciona una muestra. Si hay coincidencia, dentro de un margen de error admisible entrela hipótesis planteada (hipótesis nula, H0 ) y la información muestral entonces la mantendremos como cierta, en caso contrario la rechazaremos. Rechazar una hipótesis es sustituirla por otra que sea capaz de explicar la realidad observada en la muestra (hipótesis alternativa, H1 ). Por ejemplo, supongamos que nos planteamos si el rendimiento del proceso puede ser en media del 90 %, H0 : µ = 90.Realizamos una serie de pruebas y el rendimiento medio muestral resulta ser x = 75, menor que 90. La información muestral parece ir más a favor de H1 : µ < 90 que de H0 : µ = 90. Una cosa en la que hay que hacer hincapié es la siguiente: nunca podemos afirmar el que una hipótesis sea verdadera o falsa, ya que para ello tendríamos que tener observaciones de toda la población. Por lo tanto, al realizarun contraste y tomar una decisión siempre cabe la posibilidad de equivocarnos. Existen dos tipos de errores asociados a cualquier contraste: error tipo I, que tiene lugar cuando rechazamos H0 siendo cierta, y error tipo II, que ocurre si aceptamos H0 siendo falsa. H0 cierta Acepto H0 Rechazo H0 No hay error Error tipo I H0 falsa Error tipo II No hay error
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A la probabilidad de que ocurra elerror tipo I se le llama nivel de significación del contraste, que denotamos por α y que fijamos antes de realizar un contraste. A la probabilidad de error tipo II la denotamos por β. A 1 − α se le llama nivel de confianza, y a 1 − β potencia del test. α = P (error tipo I)=P (rechazar H0 /H0 es cierta ) , β = P (error tipo II)=P (aceptar H0 /H0 es falsa )

Lógicamente, a medida que uno disminuye elotro aumenta. Un ejemplo clásico es el siguiente: supongamos que un juez tiene que declarar a un individuo culpable o inocente. H0 H1 : inocente : culpable

8.2. Pasos a seguir para realizar un contraste

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Si rechaza H0 declara culpable al individuo, y si la acepta lo declara inocente. Comete un error de tipo I si declara culpable al acusado siendo inocente, y un error de tipo II si lodeclara inocente siendo culpable. Desde el punto de vista moral parece más grave el primer error, de ahí que en un contraste se fije el nivel de significación α y se minimice β.

8.2.

Pasos a seguir para realizar un contraste

1. Planteamos la hipótesis nula H0 (de tipo igualdad) y la alternativa H1 (a favor de la información muestral). H0 : H1 : θ = θ0 θ 6= θ0 θ < θ0 θ > θ0 2. Fijamos elnivel de significación del contraste α.Generalmente se fija en 0.05, 0.01 o 0.1. 3. Determinamos una medida de discrepancia entre la hipótesis nula y la información muestral. Esta medida estará en función de la diferencia del valor que especifica H0 para el parámetro y el estimador muestral del parámetro, y tendrá distribución conocida. A tal medida la llamamos estadístico de contraste bajo H0 . 4....