este es

Transformación de Deformaciones

Considerar un estado plano de deformaciones. Las deformaciones del material ocurren
en planos paralelos siendo las mismas en cada uno de estos planos (definidos por el
vector z). En la Fig. 1, las cargas actúan en los planos definidos por los vectores x e y.
El cuerpo o sólido está restringido de contraerse o expenderse lateralmente (dirección
z).

εz =γzx = γzy = 0

y

y

• Q ∆s

y1

∆s

x1

θ

x

∆s(1+εx)

x

y
• Q
y1

π/2 - γxy

z

∆s(1+εy)

γxy + π/2
x1

θ

x

Fig. 1. Estado de deformaciones planas

Considerar un estado plano de deformaciones del punto Q (Fig. 1). El objetivo es
determinar en términos del tensor de deformaciones (εx, εy y γxy ) (referidos a un sistema

(

xy) y θ los componentes deltensor de deformaciones ε x1 , ε y1 , γ x1 y1

)

sistema x1 y1. Para ello considerar el elemento ABC de la Fig 2.

y

∆s
θ
A

∆x

B

y

∆y

∆s(1+ε(θ))
A1

C
x

∆x(1+εx)

B1
C1
x

∆y(1+εy)
γxy + π/2

Fig. 2. Compatibilidad de deformaciones

1

referidos a un

Longitudes del elemento deformado:
A1C1 = ∆x(1+εx); A1B1 = ∆s(1+ε(θ)); B1C1 = ∆y(1+εy),considerando el valor de γxy
infinitesimal.

Aplicando la ley del coseno al triángulo A1B1C1 (elemento deformado), se obtiene la
siguiente expresión

( A1 B1 )2 = ( A1C1 )2 + (C1 B1 )2 − 2( A1C1 )(C1 B1 )cos(π / 2 + γ xy )

(1a)

(∆s )2 (1 + ε (θ ))2 = (∆x )2 (1 + ε x )2 + (∆y )2 (1 + ε y )2 − 2(∆x )(1 + ε x )(∆y )(1 + ε y )cos(π / 2 + γ xy ) (1b)
Considerar las siguientes relacionesgeométricas y trigonométricas:

∆x = ∆s cos(θ); ∆y = ∆s(sin(θ)) y cos(π/2 + γxy) = -sin γxy ≈ γxy considerando el valor

γxy infinitesimal. Estas relaciones se reemplazan en la Ec (1b), se desarrollan los
cuadrados de binomios y productos entre binomios y se desprecian los términos de
segundo orden de ε(θ), εx, εy y γxy (deformaciones infinitesimales), resultando la
siguiente expresión
ε (θ ) = ε xcos 2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sin θ cos θ

(2)

Utilizando las siguientes identidades trigonométricas en la Ec. 2: sin2θ = 1/2(1− cos2

θ ); sin2 θ = 2sin θ cos θ ; cos2 θ = 1/2(1 + cos2 θ ), y cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ, la
ecuación de transformación de deformaciones (Ec. 2) puede escribirse como

εx +ε y
ε (θ ) = ε x1 = 
 2


 εx −εy
+
  2
 

γ

 cos 2θ + xy sin 2θ
2


(3)

Reemplazando θ por π/2 + θ en la relación anterior se obtiene la deformación normal a
lo largo del eje y1, considerando las relaciones cos(π + 2θ) = -cos2θ y sin(π + 2θ) = -

sin2θ

2

εx +εy
ε y1 = 
 2


 εx −εy
−
  2
 

γ

 cos 2θ − xy sin 2θ

2


(4)

Observación: Notar que εx + εy = ε x1 + ε y1 = c (constante).
Considerar esquemade deformaciones planas presentado en la Fig. 3.

(a)

y

(b)

y
y1

B

B1
45º

45º

45º

45º

x

O

O

x1
θ

x

Fig.3 Deformación por corte en función de las deformaciones normales

Aplicando la Ec. 3 a ambos esquemas de deformación de la Fig. 3 se obtienen las
siguientes relaciones de deformación

ε OB =

εx +εy

+

γ xy

2

2

ε OB1 = ε (θ + 45º) =

⇒ γ xy = 2ε OB − (ε x + ε y )
εx +εy
2

εx −εy
−
 2


γ

 sin 2θ + xy sin 2θ

2


(5)

(6)

En base a la Ec. (5), la deformación de corte referida al sistema de coordenadas x1 y1
tiene la siguiente expresión

(

γ x1 y1 = 2ε OB1 − ε x1 + ε y1

)

(7)

Sustituyendo las Ecs. 3, 4 y 6 en la Ec. 7 se obtiene la siguiente expresión para la
deformación decorte referida al sistema de coordenadas x1 y1 en base a las componentes
del tensor de deformaciones referido al sistema xy

εx −εy
= −
 2
2


γ x1 y1


γ
 sin 2θ +  xy

 2




 cos 2θ



(8)

3

Recordar que la transformación de la tensión tangencial tiene la forma

σ y −σ x
τ x1 y1 = 

2



 sin 2θ + τ xy cos 2θ



(9)...