Este Método Sirve Para Encontrar El Volumen De Sólidos De Revolución

Este método sirve para encontrar el volumen de sólidos de revolución, muchas veces este metodo es mas fácil de aplicar que el método de discos o el de arandelas, debido a que en estos dos últimosmétodos es difícil despejar las variables de la función y ponerlas en términos de una variable en especifico dependiendo del eje de rotación. Un cascarón cilíndrico es un solido acotado por 2cilíndros circulares rectos como se ve en el bosquejo. El cilindro está definido por el radio interno, el radio externo y por la altura.



Se observa .


Se entiende que la altura del cilindro es "f(x)".Demostración de la Ecuacion General
Sabiendo que el volumen de un cilindro es el área de la base por la altura, entonces:









Ejemplos
Ejemplo # 1

y la hacemos girar entorno al eje y.sabemos que el area de un clindro es igual a

por lo tanto
















Encontramos los ceros de la funcion




por lo tanto evaluamos en el intervalo de 

donde  es el radio

 la altura y

 elancho
Resolvemos




Ejemplo # 2
Calcular V del sólido.














Ejemplo # 3
Calcular V del sólido que esta encerado por las funciones:

 y  que esta girando sobre el eje .

Al resolverejercicios de esta indole lo que hay que encontrar son 4 cosas:

1. Radio. 2. Altura. 3. Grosor del cilindro. 4. Intervalo de integracion.
1. Radio es la distancia del eje de rotacion a un punto  en lagrafica , el radio en este caso seria  .
2. Altura viene dado por la funcion 

3. El grosor de los cilindros es 

4. Intervalo de integracion, el intervalo, en este caso los cilindros se mueven de 0 a2 ya que la grafica queda limitada por la funcion 
entonces el integral resulta en :


Se multiplica:


Por propiedad de linealidad de la integral la suma en una integral es la suma de lasintegrales.



Se saca la primitiva de la funcion para luego evaluarla en el limite superior menos evaluada en el limite inferior esto se puede realizar gracias al teorema fundamental del calculo....