Estefany

Simplificación de circuitos con algebra de Boole
Estefany Aguilar


Resumen -
Palabras claves –
Abstract -
Keywords –

I. INTRODUCCIÓN
Para este proyecto,

II. OBJETIVOS

* Simplificar un circuito lógico con algebra de Boole, de tal forma que la cantidad de compuertas resultante sea lo más reducido posible.
* A partir de una tabla de verdad construir una expresiónalgebraica en suma de productos o producto de sumas, para realizar la posterior simplificación y obtención del circuito a implementar.
* Implementar circuitos con las compuertas básicas AND, OR y NOT.
* Comprobar el funcionamiento del circuito frente a la tabla de verdad.

III. MARCO TEORICO

En el álgebra de Boole hay dos operaciones denotadas con los signos (+) y (∙) pero queno tienen nada que ver con las operaciones de suma y producto utilizadas habitualmente. En el álgebra de Boole, son aplicados los BITS, que son números que solo pueden obtener valores de 1 ó 0.

OPERACIONES BOOLEANAS:
Las operaciones booleanas son posibles a través de los operadores binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformarfunciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas. [5]

La Operación (+):
Se define de la siguiente manera:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
El resultado siempre es igual a 1 cuando uno de los bits es igual a 1, y el resultado de la suma es cero cuando los dos bits son cero.
Para analizar el estado de un interruptor, usaremoslas variables booleanas A, B, C… para denotar si están apagadas (0) o encendidas (1).
Podremos observar, en algunas propiedades de Boole, que se cumple:
A + A = A
1 + A = 1
0 + A = A

La Operación (∙):
Se define de la siguiente manera:

Aquí, la operación es más “intuitiva”, el resultado da 1 solo cuando los dos bits son 1 y cero cuando alguno de los dos está en cero.
Suponiendonuevamente las variables booleanas, obtenemos para esta operación:

La Negación:
Nos permite cambiar el estado de una variable, por ejemplo:

Propiedades del Algebra de Boole:
Se pueden definir usando las tablas de verdad:

Con la operación (+)

Con la operación (∙)

Serían entonces, las siguientes PROPIEDADES:

* Conmutativa:

* Elemento neutro:

* Distributiva:

*Elemento inverso:

TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE:

* Asociatividad:

* Idempotencia:

Este teorema implica que cuando existen términos semejantes, basta con escribir uno de ellos. También implicaría que A ^ n = A

* Ley de absorción:

* Ley de Morgan:

Para el primer inciso, sumando:
AB + (A+ B) = AB + B + A
= A + B + A
= 1 + B= 1
Para el segundo inciso, multiplicando:
A B (A+ B) = ABA + ABB
= 0 + 0
= 0

Algunos ejemplos de esta ley:

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES LOGICAS

El objetivo de la simplificación de expresiones lógicas es reducir la expresión almenor número posible de términos. Las expresiones lógicas se pueden simplificar utilizando los teoremas anteriores. [5]

EJEMPLOS DE SIMPLIFICAIÓN

1. A (BC + AC) + BC
Distribuyendo el factor A en el paréntesis:
= ABC + AAC + BC,
Conmutando y aplicando idempotencia:
= ABC + BC + AC,
Usando absorción:
= BC +AC

2. XYZ+XZ
Usando el Teorema de Morgan:
= XYZ.XZ,
Por De Morgannuevamente e involución:
= (XY+Z) (X+Z),
Distribuyendo:
=XYX +XYZ +XZ +Z Z,
Como X X es cero, y por idempotencia:
= 0+ XYZ +XZ +Z,
Por absorción:
= Z

3.- (X+Y+YZW) XY
Por el teorema de Morgan:
= ((X+Y) YZW) XY, nuevamente:
= (X+Y) (Y+Z+W) (X+Y),
Distribuyendo el primero con el tercer factor:
= (XY+XY) (Y+Z+W),
Distribuyendo nuevamente
= (XY+XYZ+XYW+XYZ+XYW,
Por absorción:
=...