estereografia

ESTADISTlCA ESPAÑfJIA
Núm. 110, 19$6, pg9s. 6^ a 88

Ortogonalidad y formación de polinomios
ortogonales centrados
por FRANCISCO JAVIER URBELS IBARR©LA
Doctor en Ciencias Económicas
Catedrático de Estadistica
Universidad de Santander

RESUMEN
En este breve artículo se trata del concepto de ortogonalidad
para la creación de funciones pertenecientes a un espacio de Hilbert y también dedescomposición ortogonal de funciones aleatorias base del análisis espectral.

La base del artículo en el Capítulo II trata de los fundamentos matemáticos para la construcción de Tablas de Polinornios
Ortogonales centrados análogos a los publicados por Fisher y
Yates.
Palabra.s clave: Espacio de Hilbert. Polinomios ortogonales. Análisis espectral. Mínimos cuadrados por descom.posicienortogonal.
INTRODUCCION
La importancia del concepto de ortogonalidad en el campo matemático
ha ori,ginado la creación de espacios abstractos siendo elementos componentes de estos espacios simples variables o variables aleatorias, funciones o
funciones estocásticas.

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA

E1 primer capítulo tiene por finalidad resumir, con brevedad, algunos
aspectos derivados de la axiomática delos espacios hiebertianos y entre las
innumerables aplicaciones a la Estadística, recuerdo la farmación de elementos ortogonales tales camo variables, funciones, funciones ortogonales respecto a un ní^cleo, etc., y aplicaciones a la Teoría de la regresión y correlación, desarrollos en serie, estimación minimo-cuadrática ortogonal y representaciones espectrales de los procesos estocásticos.
Sonideas las que se exponen y que el lector puede profundizar sobre las
mismas consultando la Bibliografía anexa.
El segundo capítulo está dedicado a la construcción de Tablas de Polinomios ortogonales centrados y en el que se estudian ampliamente sus propiedades matemáticas.

CAP^TULCJ PRIMERO
SECCIOI'^

l.

Generalidades

l.l. En nuestro trabajo { (^(x) -f (x, ^^, ^z, ..., ^K)2 dx^n(x) u2 dx =
a

a

b

^f

a

b
=

n{x) tP(x) ^

^f
n(x) f (x, ^31, ..., ^K) ^

^h

a

' dx

( l .13)

^h

h=1, l, ..., K
5.3.2.

Un caso particular es cuando
f (x, ^,, ^j2, ...,

^

-- ^31 ,f 1(

^^`^2 f2^x^^`...+^K fK(x^

(1.14)

donde
b

n(x) f ;,,
a

) f,^(x) dx =

0

m^n

^. m

m=n

(1.15)

ORTO^GONALIDAD Y FOItMACIÓN DE POLINOMI+^JSORTOGONALES CENTRAD^GIS

73

El conjunto de funciones fl (.), f2(.}, ..., fK(.^ respecto del núcleo n(x) se dice
son ortogonales.

5.3.3. La estimación de los parámetras es simple. Sustituyendo en la
condición de mínimo tenemos:

^
Q

n(x^) ^P(X^} .Íti(x^) dx^ = ^k ^h^
6
n(X1^ ^^X1^ ,lhlXl^ ^xl

bn

^ h --

a

(1.16)

-

h=1,2,...,k
5.3.4.

La función estimada para unvalor ^^ es:
^^^^ ^ ^bn,fn^U} + L1

=

b

n(x }

,l 1 ^^^ ,^1 (U^

^

a

+ ... +

,^K^x^ ,^K(^^

1

^

dx

(1.17 }

K

Si al paréntesis lo llamamos K(x, v) tenemos:
y^ (t') =

,, ^,

n (x) K (x, ^) c^x

5.3.5. Es fácil verificar que el mínimo de la integral de las sumas de los
cuadrados de los errores ponderados
b

1=

,, ^,

^^(_X) y^(x}2 c^_r =^/^^r^,^ > 0

(1.19)

y que por ser I no negativa (al serlo n( x) ) obtenemos la desiguald ad de
Bessel (1).

(1) Harold T. Davis. Monograph n." 6, the «C'ow Ees C'ommission for Research in Economic».
«The Anaíysis of Economic Time series». The Principia Press of Trinity l.^niversity. San Antonio. Texas, 19b3.

ESTADÍSTIeA ESPAÑOLA

74

SECCItJN 6..i
Representaciones esp^ectra^es

6.l.

Proc^sos ^stoc^ústic^ns: Descompcasición ortoyonul (1)

l. Entre las descornposiciones de un proceso estocástico de tipo estacionario en sus componentes aleatorios octogonales figura las representaciones
espectrales

^(t1=

f"

c,^^;cf^(`}

t ER

^ ^^;t1^(1)

t ^Z

o la
n
^(t)=

(1.21)

-n

según que el parámetro del proceso t sea de tipo continuo o discreto...