estI tema2

1

Tema 2: Estimaci´
on puntual
(basado en el material de A. Jach (http://www.est.uc3m.es/ajach/)
y A. Alonso (http://www.est.uc3m.es/amalonso/))
•

Planteamiento del problema: estimador y estimaci´
on

•

Propiedades de un estimador

•

•

Insesgadez

•

Eficiencia

•

Error cuadr´
atico medio

Propiedades de un estimador en muestras grandes
•

Consistencia

•

Insesgadez asint´
oticaEstad´ıstica I

A. Arribas Gil

2

Planteamiento del problema
Objetivo: estimar un par´ametro desconocido de una poblaci´on dada.
Definici´
on 1.
Sea X1 , X2 , . . . , Xn una m.a.s. de una poblaci´
on. Sea θ un par´ametro de
inter´es de esa poblaci´
on. Un estimador puntual (estimador) de θ es cualquier
funci´on de la m.a.s. (y s´
olo de muestra):
T (X1 , X2 , . . . , Xn )
Observaciones:
•

Un estimadorpuntual no es m´as que un estad´ıstico cuya funci´on va a ser
la de estimar (aproximar) el valor de un par´ametro. Un estimador es por
tanto una v. a.

•

Una realizaci´
on particular del estimador, es decir, el valor del estimador en
una muestra particular, T (x1 , x2 , . . . , xn ), se llama estimaci´on.

•

T (X1 , X2 , . . . , Xn ) = T (x1 , x2 , . . . , xn )

Estad´ıstica I

A. Arribas Gil

3Planteamiento del problema
Ejemplos de estimadores:

Estimador Estimaci´on

Par´ametro

Media

µ

X

x

σ2

S 2 (s 2 )

s2

Desviaci´on t´ıpica

σ

S (s)

s

Proporci´on

p

pˆ

pˆ

Varianza

´ En general denotaremos por θ el par´ametro poblacional y por θˆ
NOTACION:
ˆ
(o θn ) su estimador y cualquier estimaci´
on particular.
Estad´ıstica I

A. Arribas Gil

4

Propiedades de un estimador
Ejemplo1.

Una c´amara de refrigeraci´
on tiene una temperatura uniformemente distribuida
entre 0 grados y b grados sobre cero, regulada mediante un termostato. Para
estimar la temperatura m´axima que se puede alcanzar (b), se eligen diez
momentos distintos durante el d´ıa obteni´endose temperaturas X1 , X2 , . . . , X10 .
Definimos los estimadores:
T1 (X1 , X2 , . . . , X10 ) = 2 · X
T2 (X1 , X2 , . .. , X10 ) = max{X1 , X2 , . . . , X10 }
¿Cu´al de los dos es preferible?

(P. Gil y S. Montes. Univ. de Oviedo.)

¿Cu´
ales son las propiedades deseables para un estimador?
Ser INSESGADO, CONSISTENTE Y EFICIENTE
Estad´ıstica I

A. Arribas Gil

5

Propiedades de un estimador
Definici´
on

2.

Se dice que un estimador T (X1 , . . . , Xn ) de θ es insesgado (o centrado) si
E [T (X1 , . . . , Xn )] =θ
Es decir, si tomamos repetidas muestras, EN MEDIA, el valor del estad´ıstico
estar´a cerca del verdadero valor del par´ametro.
Definici´
on

3.

Se dice que un estimador T (X1 , . . . , Xn ) de θ es asint´
oticamente insesgado si
lim E [T (X1 , . . . , Xn )] = θ

n→∞

Esta propiedad es interesante si tenemos una muestra de tama˜
no grande.
Definici´
on

4.

El sesgo de un estimador T (X1 , . .. , Xn ) de θ, se define como bT (θ) = E [T ]−θ.
Estad´ıstica I

A. Arribas Gil

6

Propiedades de un estimador
Estimador ¿Es Insesgado?

Par´ametro

Media

µ

X

S´ı

σ2

S 2 (s 2 )

S´ı

Desviaci´on t´ıpica

σ

S (s)

No

Proporci´on

p

pˆ

S´ı

Varianza

n

2

Observaci´
on: La varianza muestral, V 2 = n1 i=1 Xi − X , no es un
2
estimador insesgado de σ 2 E [V 2 ] = n−1
ı es un estimador
n σ, pero s´
2
asint´
oticamente insesgado σ .
Estad´ıstica I

A. Arribas Gil

7

Propiedades de un estimador
Ejemplo

1 (cont.) ¿Son T1 y T2 estimadores insesgados de b?

X = temperatura en la c´amara ∼ U(0, b):
fX (x)
E [X ]

=
=

1
b,
b
2,

FX (x)
Var [X ]

=
=

x
b

0≤x ≤b
2

b
12

X1 , X2 , . . . , X10 m.a.s. de X ⇔ X1 , X2 , . . . , X10 ∼ FX i.i.d.
Recordemos la definici´
on de los dosestimadores:
T1 (X1 , X2 , . . . , X10 ) = 2 · X
T2 (X1 , X2 , . . . , X10 ) = max{X1 , X2 , . . . , X10 }
• ¿T1 (X1 , X2 , . . . , X10 ) es insesgado?
E [T1 (X1 , X2 , . . . , X10 )] = E [2 · X ] = 2E [X ] = 2E [X ] = 2
Estad´ıstica I

b
=b
2

−→ S´I
A. Arribas Gil

8

Propiedades de un estimador
1 (cont.)

Ejemplo

• ¿T2 (X1 , X2 , . . . , X10 ) es insesgado?
Para calcular la esperanza de T2 vamos...